Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1247

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что если

x\ge0

, то

\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac1{2\sqrt{x+\theta(x)}}

где

\frac14\le\theta(x)\le\frac12

причём

\lim_{x\to0}\theta(x)=\frac14, \qquad \lim_{x\to+\infty}\theta(x)=\frac12

Доказательство

Идея

Рассмотрим функцию

f(t) = \sqrt{t}

. На отрезке

[x, x+1]

(где

x \ge 0

) она непрерывна и дифференцируема внутри него.
По теореме Лагранжа о конечных приращениях существует точка

c \in (x, x+1)

, такая что:

f(x+1) - f(x) = f'(c) \cdot ((x+1) - x)

Так как

f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}}

, то:

\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{c}}

Поскольку

c \in (x, x+1)

, мы можем представить эту точку в виде

c = x + \theta(x)

, где

0 < \theta(x) < 1

. Тогда:

\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x+\theta(x)}}

Выразим отсюда

\theta(x)

. Для начала запишем левую часть через сопряжённое выражение:

\frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x+\theta(x)}}

Отсюда следует, что:

2\sqrt{x+\theta(x)} = \sqrt{x+1} + \sqrt{x}

Возведём обе части в квадрат:

4(x+\theta(x)) = (x+1) + 2\sqrt{x(x+1)} + x

4x + 4\theta(x) = 2x + 1 + 2\sqrt{x^2+x}

Разделив на 4 и перенеся

x

, получим явную формулу для

\theta(x)

\theta(x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left(\sqrt{x^2+x} - x\right)

Исследуем разность

g(x) = \sqrt{x^2+x} - x

. Для

x \ge 0

очевидно, что

x^2+x \ge x^2

, поэтому

\sqrt{x^2+x} \ge x

g(x) \ge 0

. Следовательно,

\theta(x) \ge \frac{1}{4}

.
Домножим

g(x)

на сопряжённое:

g(x) = \frac{x^2+x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}

При

x > 0

разделим числитель и знаменатель на

x

g(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}

Так как

\frac{1}{x} > 0

, то

\sqrt{1 + \frac{1}{x}} > 1

, а весь знаменатель больше 2. Значит,

g(x) < \frac{1}{2}

.
Таким образом,

\theta(x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}g(x) < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

.
В итоге имеем

\frac{1}{4} \le \theta(x) \le \frac{1}{2}

Теперь вычислим пределы.
При

x \to 0

\lim_{x\to0}\theta(x) = \lim_{x\to0} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2}(\sqrt{x^2+x} - x) \right) = \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4}

При

x \to +\infty

воспользуемся представлением

g(x)

через дробь:

\lim_{x\to+\infty}\theta(x) = \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Все утверждения доказаны.

Что и требовалось доказать