Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1261

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1261

1. Что можно сказать о функции f(x)f(x), еслиf(n)(x)=0?f^{(n)}(x)=0?2. Пусть f(x)∈C(∞)(−∞,+∞)f(x)\in C^{(\infty)}(-\infty,+\infty) и для каждого xx существует натуральное число nxn_x (nx≤n)(n_x\le n) такое, чтоf(nx)(x)=0f^{(n_x)}(x)=0Доказать, что функция f(x)f(x) есть полином.

Опирается на

Доказательство

1. Рассматриваем равенство f(n)≡0f^{(n)}\equiv0 на интервале. Докажем индукцией, что ff — многочлен степени не выше n−1n-1.

При n=1n=1 это результат №1259. Пусть утверждение известно для порядка n−1n-1. Если f(n)=0f^{(n)}=0, то у функции f′f' производная порядка n−1n-1 равна нулю. По предположению индукцииf′(x)=∑j=0n−2bjxj.f'(x)=\sum_{j=0}^{n-2}b_jx^j.Построим многочлен P(x)=∑j=0n−2bjxj+1/(j+1)P(x)=\sum_{j=0}^{n-2}b_jx^{j+1}/(j+1). Его производная равна f′f', потому что производная каждого члена есть bjxjb_jx^j. Следовательно, (f−P)′=0(f-P)'=0. По №1259 разность постоянна, и f=P+Cf=P+C — многочлен степени не выше n−1n-1. Обратно, у любого такого многочлена nn-я производная равна нулю.

2. Докажем, что условие со своим порядком nxn_x в каждой точке всё равно влечёт f(n)≡0f^{(n)}\equiv0. Предположим противное: f(n)(a)≠0f^{(n)}(a)\ne0 в некоторой точке. Непрерывность даёт открытый интервал II вокруг aa, на котором f(n)f^{(n)} нигде не обращается в нуль.

Для 1≤k<n1\le k<n у f(k)f^{(k)} на II может быть не более n−kn-k различных нулей. Действительно, если бы нашлись n−k+1n-k+1 нулей, многократное применение теоремы Ролля между ними (№1238) дало бы нуль производной порядка n−kn-k от f(k)f^{(k)}, то есть нуль f(n)f^{(n)} внутри II. Это невозможно.

Итак, каждая из первых n−1n-1 производных имеет на II конечное число нулей, а f(n)f^{(n)} не имеет их вовсе. Их объединение конечно (не более (n−1)+(n−2)+⋯+1(n-1)+(n-2)+\cdots+1 точек) и не может заполнить открытый интервал. Выберем в II точку вне этого объединения. В ней все производные порядков 1,…,n1,\ldots,n отличны от нуля, что противоречит условию. При n=1n=1 противоречие непосредственно следует из f′(x)=0f'(x)=0 для всех xx.

Следовательно, f(n)≡0f^{(n)}\equiv0 на всей прямой. По первой части ff — многочлен степени не выше n−1n-1.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1261 — решение | Высшая математика — Профиматика