Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1261

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1261

1. Что можно сказать о функции f(x)f(x), еслиf(n)(x)=0?f^{(n)}(x)=0?2. Пусть f(x)∈C(∞)(−∞,+∞)f(x)\in C^{(\infty)}(-\infty,+\infty) и для каждого xx существует натуральное число nxn_x (nx≤n)(n_x\le n) такое, чтоf(nx)(x)=0f^{(n_x)}(x)=0Доказать, что функция f(x)f(x) есть полином.

Доказательство

Если nn-я производная функции тождественно равна нулю на некотором интервале, f(n)(x)≡0f^{(n)}(x) \equiv 0, то функция f(x)f(x) является многочленом степени не выше n−1n-1.
Это легко доказывается последовательным интегрированием (или применением результата задачи 1260). Из f(n)(x)=0f^{(n)}(x) = 0 следует f(n−1)(x)=c1f^{(n-1)}(x) = c_1. Интегрируя далее, получаем f(n−2)(x)=c1x+c2f^{(n-2)}(x) = c_1 x + c_2, и так далее, вплоть до:f(x)=a0xn−1+a1xn−2+⋯+an−1f(x) = a_0 x^{n-1} + a_1 x^{n-2} + \dots + a_{n-1}где aka_k — некоторые константы.

По условию для каждой точки x∈Rx \in \mathbb{R} найдётся хотя бы один порядок производной k∈{1,2,…,n}k \in \{1, 2, \dots, n\}, для которого f(k)(x)=0f^{(k)}(x) = 0.
Следовательно, произведение первых nn производных обращается в нуль на всей числовой прямой:F(x)=∏k=1nf(k)(x)=0F(x) = \prod_{k=1}^{n} f^{(k)}(x) = 0Рассмотрим множества Ek={x∈R∣f(k)(x)=0}E_k = \{x \in \mathbb{R} \mid f^{(k)}(x) = 0\} для k=1,…,nk = 1, \dots, n. Так как f∈C(∞)f \in C^{(\infty)}, все производные непрерывны, а значит, множества EkE_k замкнуты. Вся числовая прямая является объединением этих nn замкнутых множеств: R=⋃k=1nEk\mathbb{R} = \bigcup_{k=1}^n E_k.

Возьмём произвольный интервал (c,d)(c, d). Так как он не может быть счётным объединением нигде не плотных множеств (по теореме Бэра о категориях), хотя бы одно из множеств EkE_k содержит некоторый подынтервал (α,β)⊂(c,d)(\alpha, \beta) \subset (c, d).
На этом подынтервале (α,β)(\alpha, \beta) выполняется тождество f(k)(x)≡0f^{(k)}(x) \equiv 0. Как было показано в первой части задачи, это означает, что на (α,β)(\alpha, \beta) функция f(x)f(x) совпадает с многочленом степени не выше k−1k-1.
Тогда её nn-я производная на этом подынтервале также равна нулю (так как n≥kn \ge k):f(n)(x)=0для всех x∈(α,β)f^{(n)}(x) = 0 \quad \text{для всех } x \in (\alpha, \beta)Мы показали, что внутри любого интервала (c,d)(c, d) можно найти подынтервал (α,β)(\alpha, \beta), на котором f(n)(x)=0f^{(n)}(x) = 0. Это означает, что множество точек, в которых nn-я производная равна нулю, всюду плотно на числовой прямой R\mathbb{R}.

Проверка

Функция f(n)(x)f^{(n)}(x) непрерывна на R\mathbb{R} (так как f∈C(∞)f \in C^{(\infty)}). Непрерывная функция, равная нулю на всюду плотном множестве, обязана быть равной нулю тождественно на всей области определения. Следовательно:f(n)(x)≡0при x∈(−∞,+∞)f^{(n)}(x) \equiv 0 \quad \text{при } x \in (-\infty, +\infty)Из первой части задачи отсюда немедленно вытекает, что f(x)f(x) является полиномом степени не выше n−1n-1.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1261 — решение