Демидович — задача 1237

1. 1

   Случай 1

   Функция $f(x)$ тождественно равна $L$ на всем интервале $(a, b)$. В этом случае производная константы равна нулю в любой точке интервала:$$f'(x) = 0 \quad \forall x \in (a, b)$$В качестве $c$ можно выбрать любую точку интервала, и теорема выполняется.
2. 2

   Случай 2

   Функция $f(x)$ не является тождественной константой. Тогда найдется хотя бы одна точка $x_0 \in (a, b)$, в которой значение функции отлично от $L$. Пусть для определенности $f(x_0) > L$ (если $L = +\infty$, то этот вариант отпадает, но тогда обязательно найдется точка с $f(x_0) < L$, что доказывается аналогично через глобальный минимум).
   
   Выберем число $M$ так, чтобы $L < M < f(x_0)$ (если $L = -\infty$, то возьмем любое $M < f(x_0)$). По определению предела функции, найдутся такие точки $a_1$ и $b_1$, где $a < a_1 < x_0 < b_1 < b$, что для всех $x \in (a, a_1)$ и $x \in (b_1, b)$ значения функции будут строго меньше $M$:$$f(x) < M < f(x_0)$$Поскольку функция $f(x)$ имеет конечную производную в каждой точке интервала $(a, b)$, она непрерывна на этом интервале, а значит, непрерывна и на замкнутом отрезке $[a_1, b_1]$. По второй теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего значения. Пусть это наибольшее значение достигается в точке $c \in [a_1, b_1]$.
3. 3
   Так как $x_0 \in [a_1, b_1]$, то максимальное значение $f(c) \ge f(x_0) > M$. Поскольку на границах отрезка $a_1$ и $b_1$ значения функции строго меньше $M$, точка $c$ не может совпадать с границами отрезка. Значит, точка максимума $c$ лежит строго внутри отрезка $[a_1, b_1]$, а следовательно, и внутри интервала $(a, b)$.

Что и требовалось доказать