Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1237

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть функция

f(x)

имеет конечную производную

f'(x)

в каждой точке конечного или бесконечного интервала

(a,b)

\lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to b-0}f(x)

Доказать, что

f'(c)=0

где

c

— некоторая точка интервала

(a,b)

Доказательство

Найдём внутри интервала две точки с одинаковым значением функции, чтобы применить обычную теорему Ролля.

Обозначим общий предел на концах интервала через

L

. Если

L

конечен и

f\equiv L

, производная равна нулю в любой точке.

Пусть функция не постоянна. Сначала рассмотрим случай, когда для некоторой точки

x_0

имеем

f(x_0)>L

. Выберем число

M

между

L

f(x_0)

. При

L=-\infty

достаточно выбрать любое конечное

M<f(x_0)

.

Из пределов на концах можно выбрать конечные точки

a<u<x_0<v<b

так, чтобы

f(u)<M

f(v)<M

. Функция непрерывна как дифференцируемая. Поэтому на отрезке

[u,x_0]

она принимает значение

M

в некоторой точке

\alpha\in(u,x_0)

, а на

[x_0,v]

— в точке

\beta\in(x_0,v)

. Имеем

f(\alpha)=f(\beta)=M

.

Теперь применяем обычную теорему Ролля на конечном отрезке

[\alpha,\beta]

. Все её условия выполнены: функция непрерывна на отрезке, дифференцируема внутри и имеет равные значения на концах. Значит, существует

c\in(\alpha,\beta)\subset(a,b)

, где

f'(c)=0

.

Если

f(x_0)<L

, выбираем

f(x_0)<M<L

(при

L=+\infty

— любое

M>f(x_0)

). Тогда можно взять

u,v

f(u)>M

f(v)>M

; непрерывность вновь даёт две точки

\alpha<x_0<\beta

со значением

M

, и теорема Ролля завершает доказательство. Эти случаи охватывают также бесконечные концы интервала и бесконечное общее значение пределов.

Что и требовалось доказать