Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1257

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что если функция f(x)f(x) дифференцируема в бесконечном интервале (x0,+∞)(x_0,+\infty) и

Задача 1257

f(x)=o(x)при x→+∞f(x)=o(x)\quad\text{при }x\to+\inftyтоlim‾⁡x→+∞∣f′(x)∣=0\varliminf_{x\to+\infty}|f'(x)|=0В частности, если существуетlim⁡x→+∞f′(x)=k\lim_{x\to+\infty}f'(x)=kто k=0k=0.

Доказательство

Применим теорему Лагранжа на отрезках, уходящих вправо, и найдём точки, в которых производная стремится к нулю.
Возьмём натуральные nn настолько большими, чтобы n>x0n>x_0. На отрезке [n,2n][n,2n] функция непрерывна и внутри дифференцируема. По теореме Лагранжа существует cn∈(n,2n)c_n\in(n,2n), для которогоf′(cn)=f(2n)−f(n)n=2f(2n)2n−f(n)n.f'(c_n)=\frac{f(2n)-f(n)}n=2\frac{f(2n)}{2n}-\frac{f(n)}n.Из f(x)=o(x)f(x)=o(x) обе дроби справа стремятся к нулю. Поэтому f′(cn)→0f'(c_n)\to0, причём cn>n→+∞c_n>n\to+\infty.

Модуль производной неотрицателен. Для каждого RR и каждого ε>0\varepsilon>0 можно выбрать nn так, чтобы cn>Rc_n>R и ∣f′(cn)∣<ε|f'(c_n)|<\varepsilon. Следовательно,0≤inf⁡x>R∣f′(x)∣≤ε.0\le\inf_{x>R}|f'(x)|\le\varepsilon.Так как ε\varepsilon произвольно, этот инфимум равен нулю для любого достаточно большого RR. По определению нижнего пределаlim‾⁡x→+∞∣f′(x)∣=lim⁡R→+∞inf⁡x>R∣f′(x)∣=0.\varliminf_{x\to+\infty}|f'(x)|=\lim_{R\to+\infty}\inf_{x>R}|f'(x)|=0.Если существует предел f′(x)→kf'(x)\to k, то вдоль найденной последовательности также f′(cn)→kf'(c_n)\to k. Но этот предел уже равен нулю, значит, k=0k=0. Та же последовательность исключает бесконечный предел производной.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1257 — решение | Высшая математика — Профиматика