Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1267

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1267

Автомобиль начал движение из состояния покоя в пункте

A

и остановился через время

t

, пройдя путь

s

. Предполагая, что пройденный путь дважды дифференцируем по времени, доказать, что в некоторый момент модуль ускорения изменения скорости был не меньше

\frac{4s}{t^2}.

Доказательство

Пусть

f(x)

— расстояние, пройденное автомобилем к моменту времени

x \in [0, t]

.
По условию задачи в начальный момент времени путь равен нулю, а в конечный — пройден весь путь

s

f(0) = 0, \qquad f(t) = s

Поскольку автомобиль начинает движение из состояния покоя и заканчивает свой путь (то есть полностью останавливается), его скорость

v(x) = f'(x)

на концах отрезка времени равна нулю:

f'(0) = 0, \qquad f'(t) = 0

Мы находимся в точности в условиях задачи 1266. Функция

f(x)

дважды дифференцируема, и её вторая производная

f''(x)

физически представляет собой ускорение автомобиля

a(x)

.
Согласно доказанному выше утверждению, на интервале

(0, t)

существует хотя бы одна точка

c

, для которой выполняется неравенство:

|f''(c)| \ge \frac{4}{(t - 0)^2} |f(t) - f(0)|

Подставляя известные значения, получаем ограничение на абсолютную величину ускорения:

|a(c)| \ge \frac{4s}{t^2}

Проверка

Оценка относится к модулю: нужное значение может достигаться как при разгоне, так и при торможении. Для прямолинейного движения это модуль ускорения автомобиля. При движении по кривой полное ускорение имеет также нормальную составляющую, поэтому его модуль не меньше модуля скорости изменения самой скорости. Таким образом, полученная нижняя оценка сохраняется и для полного ускорения.

Что и требовалось доказать