Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1267

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Автомобиль, начав двигаться из некоторого пункта

A

, закончил свой путь через время

t

, пройдя при этом расстояние

s

. Доказать, что в некоторый момент времени ускорение движения автомобиля было не меньше

\frac{4s}{t^2}

Доказательство

Идея

Пусть

f(x)

— расстояние, пройденное автомобилем к моменту времени

x \in [0, t]

.
По условию задачи в начальный момент времени путь равен нулю, а в конечный — пройден весь путь

s

f(0) = 0, \qquad f(t) = s

Поскольку автомобиль начинает движение из состояния покоя и заканчивает свой путь (то есть полностью останавливается), его скорость

v(x) = f'(x)

на концах отрезка времени равна нулю:

f'(0) = 0, \qquad f'(t) = 0

Мы находимся в точности в условиях задачи 1266. Функция

f(x)

дважды дифференцируема, и её вторая производная

f''(x)

физически представляет собой ускорение автомобиля

a(x)

.
Согласно доказанному выше утверждению, на интервале

(0, t)

существует хотя бы одна точка

c

, для которой выполняется неравенство:

|f''(c)| \ge \frac{4}{(t - 0)^2} |f(t) - f(0)|

Подставляя известные значения, получаем ограничение на абсолютную величину ускорения:

|a(c)| \ge \frac{4s}{t^2}

Проверка

Убедимся, что именно положительное ускорение при разгоне (или модуль замедления при торможении) достигает этой величины.
Обозначим через

t_1

момент времени, когда автомобиль достигает максимальной скорости

v_{\max}

.
Пройденный путь

s

численно равен площади под графиком скорости

v(x)

. Эту площадь можно оценить сверху площадью треугольника с основанием

t

и высотой

v_{\max}

s \le \frac{1}{2}t v_{\max} \implies v_{\max} \ge \frac{2s}{t}

Применим теорему Лагранжа к участку разгона

[0, t_1]

и участку торможения

[t_1, t]

. Найдутся такие моменты времени, когда ускорение составит:

a_1 = \frac{v_{\max}}{t_1}, \qquad |a_2| = \frac{v_{\max}}{t - t_1}

Поскольку сумма временных отрезков

t_1 + (t - t_1) = t

, хотя бы один из знаменателей не превосходит

\frac{t}{2}

.
Следовательно, на соответствующем интервале величина ускорения

a

будет удовлетворять неравенству:

|a| \ge \frac{v_{\max}}{t/2} \ge \frac{2s/t}{t/2} = \frac{4s}{t^2}

Таким образом, в некоторый момент времени ускорение (или замедление) автомобиля было не меньше

\frac{4s}{t^2}

Что и требовалось доказать