Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1260

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1260

Доказать, что единственная функция

f(x)

(-\infty<x<+\infty)

, имеющая постоянную производную

f'(x)=k

есть линейная функция

f(x)=kx+b

Доказательство

Введём в рассмотрение новую вспомогательную функцию:

g(x) = f(x) - kx

Поскольку

f(x)

дифференцируема на всей числовой прямой, функция

g(x)

также дифференцируема на

\mathbb{R}

. Найдём её производную:

g'(x) = (f(x) - kx)' = f'(x) - k

По условию задачи

f'(x) = k

для всех

x \in (-\infty, +\infty)

, поэтому:

g'(x) = k - k = 0

Опираясь на результат предыдущей задачи (1259), мы знаем, что если производная функции тождественно равна нулю на некотором интервале, то сама функция является константой на этом интервале.
Следовательно:

g(x) = b

где

b

— некоторая постоянная.
Возвращаясь к исходной функции

f(x)

, получаем:

f(x) - kx = b \implies f(x) = kx + b

Что и требовалось доказать.

Проверка

Обратная проверка выполняется непосредственным дифференцированием указанной функции и подтверждает равенство для любой постоянной

b

Что и требовалось доказать