Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1252

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Объяснить, почему не верна формула Коши для функций

f(x)=x^2\qquad\text{и}\qquadg(x)=x^3

на сегменте

[-1,1]

Решение

Формула Коши (обобщённая теорема о конечном приращении) утверждает, что если функции

f(x)

g(x)

непрерывны на отрезке

[a, b]

, дифференцируемы в интервале

(a, b)

и производная

g'(x) \ne 0

для всех

x \in (a, b)

, то существует точка

c \in (a, b)

, для которой выполняется равенство:

\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

Проверим выполнение условий для заданных функций на отрезке

[-1, 1]

.
Обе функции

f(x) = x^2

g(x) = x^3

непрерывны и дифференцируемы на всей числовой прямой.
Найдём производную функции

g(x)

g'(x) = 3x^2

Заметим, что в точке

x = 0

, которая принадлежит интервалу

(-1, 1)

, производная

g'(0) = 0

.
Следовательно, третье условие теоремы Коши нарушается.

Убедимся, что формула действительно не работает. Вычислим значения левой части формулы:

f(1) = 1, \qquad f(-1) = 1 \implies f(1) - f(-1) = 0

g(1) = 1, \qquad g(-1) = -1 \implies g(1) - g(-1) = 2

Отношение приращений равно:

\frac{f(1) - f(-1)}{g(1) - g(-1)} = \frac{0}{2} = 0

Отношение производных:

\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{2c}{3c^2} = \frac{2}{3c}

Подставляя в формулу Коши, получаем уравнение:

0 = \frac{2}{3c}

Данное уравнение не имеет решений ни при каком значении

c

. Таким образом, формула Коши неверна из-за наличия нуля производной знаменателя внутри интервала.

Проверка

Речь идёт именно о формуле с отношением производных. При

c=0

это отношение не определено. Форма без деления

(f(1)-f(-1))g'(c)=(g(1)-g(-1))f'(c)

остаётся верной при

c=0

: обе части равны нулю. Противоречия с общей теоремой о среднем нет.