Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1246

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1246

Найти функцию θ=θ(x,Δx)\theta=\theta(x,\Delta x) такую, чтоf(x+Δx)−f(x)=Δx f′(x+θΔx)(0<θ<1),f(x+\Delta x)-f(x)=\Delta x\,f'(x+\theta\Delta x)
\qquad(0<\theta<1),если:а) f(x)=ax2+bx+c(a≠0);б) f(x)=x3;\text{а) }f(x)=ax^2+bx+c\quad(a\ne0);
\qquad
\text{б) }f(x)=x^3;в) f(x)=1x;г) f(x)=ex.\text{в) }f(x)=\frac1x;
\qquad
\text{г) }f(x)=e^x.

Решение

Идея

Рассмотрим каждый случай отдельно, применяя формулу Лагранжа и разрешая полученное уравнение относительно θ\theta
  1. 1

    Пункт а)

    Для квадратичной функции f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c
    Найдём разность функции на концах интервалаf(x+Δx)−f(x)=a(x+Δx)2+b(x+Δx)+c−(ax2+bx+c)f(x+\Delta x) - f(x) = a(x+\Delta x)^2 + b(x+\Delta x) + c - (ax^2+bx+c)Раскрывая скобки и приводя подобные, получимf(x+Δx)−f(x)=2axΔx+aΔx2+bΔxf(x+\Delta x) - f(x) = 2ax\Delta x + a\Delta x^2 + b\Delta xПроизводная функции равна f′(x)=2ax+bf'(x) = 2ax + b
    Запишем выражение для правой части формулы ЛагранжаΔxf′(x+θΔx)=Δx(2a(x+θΔx)+b)\Delta x f'(x+\theta\Delta x) = \Delta x (2a(x+\theta\Delta x) + b)Приравняем обе частиΔx(2ax+aΔx+b)=Δx(2ax+2aθΔx+b)\Delta x (2ax + a\Delta x + b) = \Delta x (2ax + 2a\theta\Delta x + b)Поскольку Δx≠0\Delta x \ne 0, можно сократить на Δx\Delta x и вычесть одинаковые слагаемые с обеих сторонaΔx=2aθΔxa\Delta x = 2a\theta\Delta xТак как a≠0a \ne 0, окончательно получаемθ=12\theta = \frac{1}{2}
  2. 2

    Пункт б)

    Для кубической функции f(x)=x3f(x) = x^3
    Левая часть(x+Δx)3−x3=3x2Δx+3xΔx2+Δx3(x+\Delta x)^3 - x^3 = 3x^2\Delta x + 3x\Delta x^2 + \Delta x^3Производная равна f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2
    Правая частьΔx⋅3(x+θΔx)2=3Δx(x2+2xθΔx+θ2Δx2)\Delta x \cdot 3(x+\theta\Delta x)^2 = 3\Delta x (x^2 + 2x\theta\Delta x + \theta^2\Delta x^2)Приравняем и разделим на Δx\Delta x3x2+3xΔx+Δx2=3x2+6xθΔx+3θ2Δx23x^2 + 3x\Delta x + \Delta x^2 = 3x^2 + 6x\theta\Delta x + 3\theta^2\Delta x^2Сведём уравнение к квадратному относительно θ\theta3Δx2θ2+6xΔxθ−(3xΔx+Δx2)=03\Delta x^2 \theta^2 + 6x\Delta x \theta - (3x\Delta x + \Delta x^2) = 0Решим через дискриминант (разделив коэффициенты на 2)D/4=(3xΔx)2+3Δx2(3xΔx+Δx2)=9x2Δx2+9xΔx3+3Δx4D/4 = (3x\Delta x)^2 + 3\Delta x^2(3x\Delta x + \Delta x^2) = 9x^2\Delta x^2 + 9x\Delta x^3 + 3\Delta x^4Извлечём корень и запишем выражение для θ\thetaθ=−3xΔx±Δx9x2+9xΔx+3Δx23Δx2=−x±x2+xΔx+13Δx2Δx\theta = \frac{-3x\Delta x \pm \Delta x \sqrt{9x^2 + 9x\Delta x + 3\Delta x^2}}{3\Delta x^2} = \frac{-x \pm \sqrt{x^2 + x\Delta x + \frac{1}{3}\Delta x^2}}{\Delta x}По условию 0<θ<10 < \theta < 1, поэтому перед корнем необходимо выбрать знак «плюс» (так как подкоренное выражение всегда больше x2x^2)θ=−x+x2+xΔx+13Δx2Δx\theta = \frac{-x + \sqrt{x^2 + x\Delta x + \frac{1}{3}\Delta x^2}}{\Delta x}
  3. 3

    Пункт в)

    Для функции f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}
    Левая часть1x+Δx−1x=−Δxx(x+Δx)\frac{1}{x+\Delta x} - \frac{1}{x} = \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)}Производная равна f′(x)=−1x2f'(x) = -\frac{1}{x^2}
    Правая частьΔx(−1(x+θΔx)2)\Delta x \left( -\frac{1}{(x+\theta\Delta x)^2} \right)Приравняем части и учтём, что для непрерывности функции xx и x+Δxx+\Delta x обязаны иметь одинаковый знак1x(x+Δx)=1(x+θΔx)2  ⟹  (x+θΔx)2=x(x+Δx)\frac{1}{x(x+\Delta x)} = \frac{1}{(x+\theta\Delta x)^2} \implies (x+\theta\Delta x)^2 = x(x+\Delta x)Точка x+θΔxx+\theta\Delta x лежит между xx и x+Δxx+\Delta x, значит она имеет с ними один и тот же знакx+θΔx=sgn⁡(x)x(x+Δx)x+\theta\Delta x = \operatorname{sgn}(x)\sqrt{x(x+\Delta x)}Так как sgn⁡(x)=x∣x∣\operatorname{sgn}(x) = \frac{x}{|x|}, можно вынести xx за знак корняx+θΔx=x1+Δxxx+\theta\Delta x = x\sqrt{1+\frac{\Delta x}{x}}Выразим искомую величинуθ=xΔx(1+Δxx−1)\theta = \frac{x}{\Delta x}\left(\sqrt{1+\frac{\Delta x}{x}} - 1\right)
  4. 4

    Пункт г)

    Для экспоненциальной функции f(x)=exf(x) = e^x
    Левая частьex+Δx−ex=ex(eΔx−1)e^{x+\Delta x} - e^x = e^x(e^{\Delta x} - 1)Производная равна f′(x)=exf'(x) = e^x
    Правая частьΔxex+θΔx=ΔxexeθΔx\Delta x e^{x+\theta\Delta x} = \Delta x e^x e^{\theta\Delta x}Приравняем и сократим на exe^xeΔx−1=ΔxeθΔx  ⟹  eθΔx=eΔx−1Δxe^{\Delta x} - 1 = \Delta x e^{\theta\Delta x} \implies e^{\theta\Delta x} = \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}Логарифмируя обе части, находим θ\thetaθΔx=ln⁡eΔx−1Δx  ⟹  θ=1Δxln⁡eΔx−1Δx\theta\Delta x = \ln\frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \implies \theta = \frac{1}{\Delta x}\ln\frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}
Демидович № 1246 — решение | Высшая математика — Профиматика