Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1266

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что если: 1) функция

f(x)

имеет вторую производную

f''(x)

на сегменте

[a,b]

и 2)

f'(a)=f'(b)=0

, то в интервале

(a,b)

существует по меньшей мере одна точка

c

такая, что

|f''(c)|\ge\frac4{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|

Доказательство

Положим

m=(a+b)/2

. Сначала выведем нужные равенства с помощью теоремы Ролля. Обозначим

K_1=\frac{f(m)-f(a)}{(m-a)^2},\qquad G(x)=f(x)-f(a)-K_1(x-a)^2.

Имеем

G(a)=G(m)=0

G'(a)=f'(a)=0

. Теорема Ролля на

[a,m]

даёт

u\in(a,m)

G'(u)=0

. Применяем её ещё раз к

G'

на

[a,u]

: эта функция непрерывна как дифференцируемая и имеет производную внутри отрезка. Получаем

c_1\in(a,u)

, где

G''(c_1)=0

, то есть

f''(c_1)=2K_1

. Следовательно,

f(m)=f(a)+\frac{f''(c_1)}2(m-a)^2.

Для правой половины положим

K_2=(f(m)-f(b))/(m-b)^2

H(x)=f(x)-f(b)-K_2(x-b)^2

. Здесь

H(m)=H(b)=0

H'(b)=0

. Два применения Ролля, сначала к

H

на

[m,b]

, затем к

H'

между полученным нулём и

b

, дают

c_2\in(m,b)

f(m)=f(b)+\frac{f''(c_2)}2(m-b)^2.

Оба равенства получены из уже доступной теоремы.

Поскольку по условию

f'(a) = f'(b) = 0

, а величины

m - a = \frac{b-a}{2}

m - b = -\frac{b-a}{2}

в квадрате равны

\frac{(b-a)^2}{4}

, эти формулы упрощаются:

f(m) = f(a) + \frac{f''(c_1)}{2} \frac{(b-a)^2}{4}

f(m) = f(b) + \frac{f''(c_2)}{2} \frac{(b-a)^2}{4}

Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить значение

f(m)

0 = f(a) - f(b) + \frac{(b-a)^2}{8} (f''(c_1) - f''(c_2))

Отсюда выразим разность значений функции на концах отрезка:

f(b) - f(a) = \frac{(b-a)^2}{8} (f''(c_1) - f''(c_2))

Проверка

Перейдём к модулям и воспользуемся неравенством треугольника:

|f(b) - f(a)| = \frac{(b-a)^2}{8} |f''(c_1) - f''(c_2)| \le \frac{(b-a)^2}{8} (|f''(c_1)| + |f''(c_2)|)

Пусть

c

— та из двух точек

c_1

c_2

, в которой модуль второй производной принимает наибольшее значение. Тогда

|f''(c_1)| + |f''(c_2)| \le 2|f''(c)|

, и неравенство примет вид:

|f(b) - f(a)| \le \frac{(b-a)^2}{8} \cdot 2|f''(c)| = \frac{(b-a)^2}{4} |f''(c)|

Умножив обе части на положительную величину

\frac{4}{(b-a)^2}

, получим требуемое:

|f''(c)| \ge \frac{4}{(b-a)^2} |f(b) - f(a)|

Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать