Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1266

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что если: 1) функция

f(x)

имеет вторую производную

f''(x)

на сегменте

[a,b]

и 2)

f'(a)=f'(b)=0

, то в интервале

(a,b)

существует по меньшей мере одна точка

c

такая, что

|f''(c)|\ge\frac4{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|

Доказательство

Идея

Разделим отрезок

[a, b]

пополам точкой

m = \frac{a+b}{2}

. Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции

f(x)

в окрестности точек

a

b

, разлагая её до второй производной в точке

m

f(m) = f(a) + f'(a)(m - a) + \frac{f''(c_1)}{2}(m - a)^2

где

c_1 \in (a, m)

f(m) = f(b) + f'(b)(m - b) + \frac{f''(c_2)}{2}(m - b)^2

где

c_2 \in (m, b)

Поскольку по условию

f'(a) = f'(b) = 0

, а величины

m - a = \frac{b-a}{2}

m - b = -\frac{b-a}{2}

в квадрате равны

\frac{(b-a)^2}{4}

, эти формулы упрощаются:

f(m) = f(a) + \frac{f''(c_1)}{2} \frac{(b-a)^2}{4}

f(m) = f(b) + \frac{f''(c_2)}{2} \frac{(b-a)^2}{4}

Вычтем из первого уравнения второе, чтобы исключить значение

f(m)

0 = f(a) - f(b) + \frac{(b-a)^2}{8} (f''(c_1) - f''(c_2))

Отсюда выразим разность значений функции на концах отрезка:

f(b) - f(a) = \frac{(b-a)^2}{8} (f''(c_1) - f''(c_2))

Проверка

Перейдём к модулям и воспользуемся неравенством треугольника:

|f(b) - f(a)| = \frac{(b-a)^2}{8} |f''(c_1) - f''(c_2)| \le \frac{(b-a)^2}{8} (|f''(c_1)| + |f''(c_2)|)

Пусть

c

— та из двух точек

c_1

c_2

, в которой модуль второй производной принимает наибольшее значение. Тогда

|f''(c_1)| + |f''(c_2)| \le 2|f''(c)|

, и неравенство примет вид:

|f(b) - f(a)| \le \frac{(b-a)^2}{8} \cdot 2|f''(c)| = \frac{(b-a)^2}{4} |f''(c)|

Умножив обе части на положительную величину

\frac{4}{(b-a)^2}

, получим требуемое:

|f''(c)| \ge \frac{4}{(b-a)^2} |f(b) - f(a)|

Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать