Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1236

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Функция

f(x)=1-\sqrt[3]{x^2}

обращается в нуль при

x_1=-1

x_2=1

, но её производная нигде на

[-1,1]

не равна нулю в тех точках, где она существует. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

Решение

Для применимости теоремы Ролля на отрезке

[-1, 1]

функция должна удовлетворять трём условиям:
1) быть непрерывной на отрезке

[-1, 1]

;
2) принимать равные значения на концах отрезка:

f(-1) = f(1)

;
3) быть дифференцируемой во всех внутренних точках интервала

(-1, 1)

Проверим выполнение этих условий.
Заданная функция

f(x) = 1 - x^{\frac{2}{3}}

элементарна, определена на всей числовой оси и непрерывна на отрезке

[-1, 1]

.
Значения на концах отрезка равны нулю:

f(-1) = 1 - \sqrt[3]{(-1)^2} = 0, \quad f(1) = 1 - \sqrt[3]{1^2} = 0

Первые два условия выполнены. Проверим третье условие — дифференцируемость на интервале

(-1, 1)

. Найдём производную функции:

f'(x) = \left( 1 - x^{\frac{2}{3}} \right)' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}

При

x\ne0

эта производная не равна нулю. В точке

0

проверяем определение отдельно:

\frac{f(h)-f(0)}h=-\frac{|h|^{2/3}}h=\begin{cases}-h^{-1/3},&h>0,\\ |h|^{-1/3},&h<0.\end{cases}

Справа разностное отношение стремится к

-\infty

, слева — к

+\infty

. Поэтому конечной производной в нуле нет. Именно условие дифференцируемости внутри отрезка нарушено.

Проверка

Поскольку функция

f(x)

не является дифференцируемой во всех точках интервала

(-1, 1)

, третье условие теоремы Ролля не выполняется. Следовательно, теорема Ролля к данной функции на отрезке

[-1, 1]

неприменима, и никакого противоречия в том, что производная не обращается в нуль, нет.