Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1240

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1240

Доказать, что если все корни многочленаPn(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an,a0≠0P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n, \qquad a_0\ne0с действительными коэффициентами aka_k (k=0,1,…,n)(k=0,1,\ldots,n) вещественны, то его последовательные производные Pn′(x)P_n'(x), Pn′′(x)P_n''(x), …\ldots, Pn(n−1)(x)P_n^{(n-1)}(x) также имеют лишь вещественные корни.

Доказательство

По условию многочлен nn-й степени Pn(x)P_n(x) имеет ровно nn вещественных корней (с учётом их кратностей).
Пусть x1<x2<⋯<xkx_1 < x_2 < \dots < x_k — все различные вещественные корни многочлена Pn(x)P_n(x), а m1,m2,…,mkm_1, m_2, \dots, m_k — их соответствующие кратности. Сумма кратностей всех корней равна степени многочлена:∑i=1kmi=n\sum_{i=1}^{k} m_i = n
Рассмотрим первую производную Pn′(x)P_n'(x).
Если Pn(x)=(x−xi)miQ(x)P_n(x)=(x-x_i)^{m_i}Q(x), Q(xi)≠0Q(x_i)\ne0, тоPn′(x)=(x−xi)mi−1(miQ(x)+(x−xi)Q′(x)).P_n'(x)=(x-x_i)^{m_i-1}\bigl(m_iQ(x)+(x-x_i)Q'(x)\bigr).Выражение в скобках при x=xix=x_i равно miQ(xi)≠0m_iQ(x_i)\ne0. Таким образом, кратность уменьшается ровно на 11. Во-первых, каждый корень xix_i исходного многочлена кратности mi≥2m_i \ge 2 становится корнем производной Pn′(x)P_n'(x) с кратностью mi−1m_i - 1. Сумма кратностей таких корней у производной равна:∑i=1k(mi−1)=∑i=1kmi−∑i=1k1=n−k\sum_{i=1}^{k} (m_i - 1) = \sum_{i=1}^{k} m_i - \sum_{i=1}^{k} 1 = n - kВо-вторых, функция Pn(x)P_n(x) дифференцируема и непрерывна на всей числовой прямой. Применяя теорему Ролля к каждому из интервалов (xi,xi+1)(x_i, x_{i+1}), которых ровно k−1k - 1 штук, мы делаем вывод, что между любыми двумя соседними нулями функции существует хотя бы один нуль её производной. Следовательно, мы получаем ещё как минимум k−1k - 1 новых вещественных корней для Pn′(x)P_n'(x).

Общее количество гарантированных вещественных корней производной Pn′(x)P_n'(x) с учётом кратностей составляет:(n−k)+(k−1)=n−1(n - k) + (k - 1) = n - 1Степень Pn′P_n' равна n−1n-1. Произведение найденных линейных множителей, взятых с их кратностями, уже имеет эту степень и делит Pn′P_n'. Частное поэтому постоянно: для других корней места не остаётся. Все корни Pn′P_n' вещественны.

Проверка

Применяя аналогичные рассуждения к многочлену Pn′(x)P_n'(x), делаем вывод, что все корни Pn′′(x)P_n''(x) также вещественны, и так далее по индукции вплоть до производной порядка n−1n-1. Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1240 — решение | Высшая математика — Профиматика