Демидович — задача 1240

1. 1
   Пусть $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ — все различные вещественные корни многочлена $P_n(x)$, а $m_1, m_2, \dots, m_k$ — их соответствующие кратности. Сумма кратностей всех корней равна степени многочлена:$$\sum_{i=1}^{k} m_i = n$$
2. 2
   Рассмотрим первую производную $P_n'(x)$.
   Во-первых, каждый корень $x_i$ исходного многочлена кратности $m_i \ge 2$ становится корнем производной $P_n'(x)$ с кратностью $m_i - 1$. Сумма кратностей таких корней у производной равна:$$\sum_{i=1}^{k} (m_i - 1) = \sum_{i=1}^{k} m_i - \sum_{i=1}^{k} 1 = n - k$$Во-вторых, функция $P_n(x)$ дифференцируема и непрерывна на всей числовой прямой. Применяя теорему Ролля к каждому из интервалов $(x_i, x_{i+1})$, которых ровно $k - 1$ штук, мы делаем вывод, что между любыми двумя соседними нулями функции существует хотя бы один нуль её производной. Следовательно, мы получаем ещё как минимум $k - 1$ новых вещественных корней для $P_n'(x)$.
   
   Общее количество гарантированных вещественных корней производной $P_n'(x)$ с учётом кратностей составляет:$$(n - k) + (k - 1) = n - 1$$Так как $P_n'(x)$ является многочленом степени $(n-1)$, то по основной теореме алгебры он имеет ровно $(n-1)$ корней на комплексной плоскости. Поскольку мы только что насчитали $(n-1)$ вещественных корней, то все корни $P_n'(x)$ — исключительно вещественные.

Что и требовалось доказать