Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1263

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1263

Проверить, что функции

f(x)=\operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x},\qquadg(x)=\operatorname{arctg} x

имеют одинаковые производные в областях: 1)

x<1

; 2)

x>1

.

Вывести зависимость между этими функциями.

Решение

Найдём производную функции

f(x)

, используя правило дифференцирования сложной функции:

f'(x) = \left( \operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x} \right)' = \frac{1}{1 + \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2} \cdot \left( \frac{1+x}{1-x} \right)'

Вычислим производную дроби:

\left( \frac{1+x}{1-x} \right)' = \frac{1\cdot(1-x) - (1+x)\cdot(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}

Преобразуем первый множитель:

\frac{1}{1 + \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2} = \frac{(1-x)^2}{(1-x)^2 + (1+x)^2} = \frac{(1-x)^2}{1-2x+x^2 + 1+2x+x^2} = \frac{(1-x)^2}{2+2x^2}

Подставляем всё в производную

f'(x)

f'(x) = \frac{(1-x)^2}{2(1+x^2)} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{1+x^2}

Производная функции

g(x)

является табличной:

g'(x) = (\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}

Таким образом,

f'(x) = g'(x)

для всех

x \ne 1

, что подтверждает равенство производных в областях

x < 1

x > 1

Поскольку производные функций равны на интервалах, сами функции могут отличаться на этих интервалах только на константу. Рассмотрим каждый интервал отдельно.
Для

x < 1

\operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x} = \operatorname{arctg} x + C_1

Чтобы найти

C_1

, подставим удобное значение из этого интервала, например

x = 0

\operatorname{arctg}\frac{1+0}{1-0} = \operatorname{arctg} 0 + C_1 \implies \operatorname{arctg} 1 = 0 + C_1 \implies C_1 = \frac{\pi}{4}

Значит, для

x < 1

зависимость имеет вид:

\operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x} = \operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{4}

Проверка

Для

x > 1

\operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x} = \operatorname{arctg} x + C_2

Чтобы найти

C_2

, вычислим пределы левой и правой частей при

x \to +\infty

\lim_{x\to+\infty} \operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x} = \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}

\lim_{x\to+\infty} \operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{2}

Тогда:

-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + C_2 \implies C_2 = -\frac{3\pi}{4}

Значит, для

x > 1

зависимость имеет вид:

\operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x} = \operatorname{arctg} x - \frac{3\pi}{4}