Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1255

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что если функция

f(x)

имеет в конечном или бесконечном интервале

(a,b)

ограниченную производную

f'(x)

, то

f(x)

равномерно непрерывна на

(a,b)

Доказательство

Идея

По условию производная

f'(x)

ограничена на интервале

(a, b)

. Это означает, что существует такое положительное число

M

, что для любого

x \in (a, b)

выполняется неравенство

Проверка

|f'(x)| \le M

Возьмём любые две точки

x_1

x_2

из интервала

(a, b)

. По теореме Лагранжа о конечных приращениях между ними найдётся точка

c

, для которой справедливо равенство

f(x_1) - f(x_2) = f'(c)(x_1 - x_2)

Возьмём модуль от обеих частей этого равенства

|f(x_1) - f(x_2)| = |f'(c)| \cdot |x_1 - x_2|

Так как точка

c

также принадлежит интервалу

(a, b)

, то

|f'(c)| \le M

. Следовательно, мы получаем неравенство Липшица

|f(x_1) - f(x_2)| \le M |x_1 - x_2|

Зададимся произвольным

\varepsilon > 0

. Выберем

\delta = \frac{\varepsilon}{M}

. Тогда для любых

x_1, x_2 \in (a, b)

, удовлетворяющих условию

|x_1 - x_2| < \delta

, будет выполняться

|f(x_1) - f(x_2)| \le M |x_1 - x_2| < M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon

Это в точности означает, что функция

f(x)

равномерно непрерывна на интервале

(a, b)

. Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать