Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1250

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1250

Пусть функция f(x)f(x) имеет непрерывную производную f′(x)f'(x) в интервале (a,b)(a,b). Можно ли для всякой точки ξ\xi из (a,b)(a,b) указать две другие точки x1x_1 и x2x_2 из этого интервала такие, чтоf(x2)−f(x1)x2−x1=f′(ξ)(x1<ξ<x2)?\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi)
\qquad(x_1<\xi<x_2)?Рассмотреть пример:f(x)=x3(−1≤x≤1)f(x)=x^3\qquad(-1\le x\le1)где ξ=0\xi=0.

Решение

Идея

Проверим выполнимость данного условия на предложенном примере.
Дана функция f(x)=x3f(x) = x^3 на отрезке [−1,1][-1, 1].
Её производная равна f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2.
В точке ξ=0\xi = 0 значение производной составляет f′(0)=0f'(0) = 0.
Предположим, что существуют такие точки x1x_1 и x2x_2, что x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 и выполняется равенство:

Проверка

x23−x13x2−x1=0\frac{x_2^3 - x_1^3}{x_2 - x_1} = 0Распишем разность кубов:(x2−x1)(x22+x1x2+x12)x2−x1=0\frac{(x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2)}{x_2 - x_1} = 0Так как x1≠x2x_1 \ne x_2, дробь можно сократить:x22+x1x2+x12=0x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 = 0Рассмотрим это выражение как квадратное уравнение относительно x2x_2. Найдём его дискриминант:D=x12−4x12=−3x12D = x_1^2 - 4x_1^2 = -3x_1^2Поскольку по нашему условию x1<0x_1 < 0, дискриминант строго отрицателен: D<0D < 0.
Это означает, что уравнение не имеет действительных корней x2x_2.
Единственный случай, когда сумма x22+x1x2+x12x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2 равна нулю, достигается при x1=x2=0x_1 = x_2 = 0. Однако это противоречит строгому неравенству x1<ξ<x2x_1 < \xi < x_2.
Таким образом, для точки ξ=0\xi = 0 невозможно подобрать требуемые точки x1x_1 и x2x_2.
Ответ: нет, это возможно не для всякой точки.
Демидович № 1250 — решение | Высшая математика — Профиматика