Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1248

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

f(x)=\begin{cases}\dfrac{3-x^2}{2},&0\le x\le1,\\[2mm]\dfrac1x,&1<x<+\infty\end{cases}

Определить промежуточное значение

c

формулы конечных приращений для функции

f(x)

на сегменте

[0,2]

Решение

Проверим применимость теоремы Лагранжа. Для этого функция должна быть непрерывной на отрезке

[0, 2]

и дифференцируемой на интервале

(0, 2)

.
В точке

x=1

(«склейка» двух ветвей) имеем:
Слева:

f(1-0) = \frac{3-1^2}{2} = 1

.
Справа:

f(1+0) = \frac{1}{1} = 1

.
Функция непрерывна.

Найдём производную:
При

0 < x < 1

f'(x) = -x

При

1 < x < 2

f'(x) = -\frac{1}{x^2}

В точке склейки проверим разностные отношения. При

h<0

\frac{f(1+h)-f(1)}h=\frac{(3-(1+h)^2)/2-1}h=-1-h/2\to-1.

При

h>0

получаем

((1+h)^{-1}-1)/h=-1/(1+h)\to-1

. Оба предела совпадают, поэтому

f'(1)=-1

, и функция дифференцируема на всём интервале

(0, 2)

.

По формуле конечных приращений существует точка

c \in (0, 2)

, для которой:

f(2) - f(0) = f'(c)(2 - 0)

Найдём значения на концах отрезка:

f(0) = \frac{3-0}{2} = \frac{3}{2}

f(2) = \frac{1}{2}

.
Подставим их в формулу:

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 2f'(c)

-1 = 2f'(c) \implies f'(c) = -\frac{1}{2}

Осталось найти

c

. Рассмотрим два интервала:

Если

c \in (0, 1]

, то

f'(c) = -c

-c = -\frac{1}{2} \implies c_1 = \frac{1}{2}

Это значение попадает в проверяемый интервал.

Если

c \in (1, 2)

, то

f'(c) = -\frac{1}{c^2}

-\frac{1}{c^2} = -\frac{1}{2} \implies c^2 = 2 \implies c_2 = \sqrt{2}

Из

1<2<4

следует

1<\sqrt2<2

, поэтому значение принадлежит нужному интервалу.

Проверка

Таким образом, формула конечных приращений выполняется сразу для двух промежуточных значений

c

.
Ответ:

c_1 = \frac{1}{2}

c_2 = \sqrt{2}