Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1248

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

f(x)=\begin{cases}\dfrac{3-x^2}{2},&0\le x\le1,\\[2mm]\dfrac1x,&1<x<+\infty\end{cases}

Определить промежуточное значение

c

формулы конечных приращений для функции

f(x)

на сегменте

[0,2]

Решение

Идея

Проверим применимость теоремы Лагранжа. Для этого функция должна быть непрерывной на отрезке

[0, 2]

и дифференцируемой на интервале

(0, 2)

.
В точке

x=1

(«склейка» двух ветвей) имеем:
Слева:

f(1-0) = \frac{3-1^2}{2} = 1

.
Справа:

f(1+0) = \frac{1}{1} = 1

.
Функция непрерывна.

1
Найдём производную:
При $0 < x < 1$ : $f'(x) = -x$ При $1 < x < 2$ : $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ Производные слева и справа в точке $x=1$ совпадают: $f'(1-0) = -1$ и $f'(1+0) = -1$ . Следовательно, $f'(1) = -1$ , и функция дифференцируема на всём интервале $(0, 2)$ .

По формуле конечных приращений существует точка $c \in (0, 2)$ , для которой: $f(2) - f(0) = f'(c)(2 - 0)$ Найдём значения на концах отрезка:
$f(0) = \frac{3-0}{2} = \frac{3}{2}$ .
$f(2) = \frac{1}{2}$ .
Подставим их в формулу: $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 2f'(c)$ $-1 = 2f'(c) \implies f'(c) = -\frac{1}{2}$ Осталось найти $c$ . Рассмотрим два интервала:
2
Если $c \in (0, 1]$ , то $f'(c) = -c$ : $-c = -\frac{1}{2} \implies c_1 = \frac{1}{2}$ Это значение попадает в проверяемый интервал.
3
Если $c \in (1, 2)$ , то $f'(c) = -\frac{1}{c^2}$ : $-\frac{1}{c^2} = -\frac{1}{2} \implies c^2 = 2 \implies c_2 = \sqrt{2}$ Значение $\sqrt{2} \approx 1.414$ также попадает в нужный интервал.

Проверка

Таким образом, формула конечных приращений выполняется сразу для двух промежуточных значений

c

.
Ответ:

c_1 = \frac{1}{2}

c_2 = \sqrt{2}