Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
Демидович — задача 1249
Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.
Задача 1249
Пустьf(x)−f(0)=xf′(ξ(x)),0<ξ(x)<xДоказать, что еслиf(x)=xsin(lnx)при x>0,f(0)=0то функция ξ=ξ(x) разрывна в любом сколь угодно малом интервале (0,ε), где ε>0.
Доказательство
По условию f(x)=xsin(lnx) при x>0 и f(0)=0.
Найдём производную функции при x>0:f′(x)=sin(lnx)+xcos(lnx)⋅x1=sin(lnx)+cos(lnx)Воспользуемся формулой вспомогательного угла:f′(x)=2(22sin(lnx)+22cos(lnx))=2sin(lnx+4π)Запишем формулу конечных приращений для отрезка [0,x]:f(x)−f(0)=xf′(ξ)Подставим выражения для функции и её производной:xsin(lnx)=x2sin(lnξ+4π)Так как x>0, разделим обе части на x:sin(lnx)=2sin(lnξ+4π)Отсюда получаем уравнение, связывающее x и ξ(x):sin(lnξ+4π)=21sin(lnx)Предположим от противного, что функция ξ(x) непрерывна в некотором интервале (0,ε).
Тогда функция g(x)=lnξ(x)+4π также является непрерывной на этом интервале.
Значения функции 21sin(lnx) при изменении x осциллируют на отрезке [−21,21].
Следовательно, уравнение sin(g(x))=y, где y∈[−21,21], должно выполняться для непрерывной функции g(x).
Участки, на которых синус принимает такие значения, представляют собой изолированные отрезки вида [nπ−4π,nπ+4π], где n∈Z.
В силу непрерывности, функция g(x) не может «перепрыгивать» из одного такого отрезка в другой (по теореме Больцано-Коши она должна была бы принимать все промежуточные значения, при которых синус по модулю больше 21, что невозможно).
Значит, на всём интервале (0,ε) функция g(x) ограничена и целиком лежит внутри одного такого отрезка для некоторого фиксированного n.
Так как g(x)=lnξ(x)+4π, функция lnξ(x) тоже должна быть ограничена снизу.
Однако по условию 0<ξ(x)<x. При x→0 по теореме о двух милиционерах получаем, что ξ(x)→0.
Следовательно, lnξ(x)→−∞, что противоречит ограниченности функции lnξ(x).
Полученное противоречие доказывает, что функция ξ(x) не может быть непрерывной ни в одном сколь угодно малом интервале (0,ε).
Найдём производную функции при x>0:
Тогда функция g(x)=lnξ(x)+4π также является непрерывной на этом интервале.
Значения функции 21sin(lnx) при изменении x осциллируют на отрезке [−21,21].
Следовательно, уравнение sin(g(x))=y, где y∈[−21,21], должно выполняться для непрерывной функции g(x).
Участки, на которых синус принимает такие значения, представляют собой изолированные отрезки вида [nπ−4π,nπ+4π], где n∈Z.
В силу непрерывности, функция g(x) не может «перепрыгивать» из одного такого отрезка в другой (по теореме Больцано-Коши она должна была бы принимать все промежуточные значения, при которых синус по модулю больше 21, что невозможно).
Значит, на всём интервале (0,ε) функция g(x) ограничена и целиком лежит внутри одного такого отрезка для некоторого фиксированного n.
Так как g(x)=lnξ(x)+4π, функция lnξ(x) тоже должна быть ограничена снизу.
Однако по условию 0<ξ(x)<x. При x→0 по теореме о двух милиционерах получаем, что ξ(x)→0.
Следовательно, lnξ(x)→−∞, что противоречит ограниченности функции lnξ(x).
Полученное противоречие доказывает, что функция ξ(x) не может быть непрерывной ни в одном сколь угодно малом интервале (0,ε).
Проверка
Применение теоремы Лагранжа на [0,x] законно: ∣tsinlnt∣≤t→0 при t→0+, поэтому f непрерывна в нуле; при t>0 она дифференцируема. Утверждение означает, что на каждом (0,ε) у выбранной функции ξ(x) найдётся хотя бы одна точка разрыва.Что и требовалось доказать