Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1241

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что у многочлена Лежандра

P_n(x)=\frac1{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}\{(x^2-1)^n\}

все корни вещественные и заключены в интервале

(-1,1)

Доказательство

При

n=0

многочлен равен

1

и корней не имеет. Пусть

n\ge1

. Введём

U(x)=(x-1)^n(x+1)^n

, многочлен степени

2n

.

Покажем индукцией, что после

k

дифференцирований,

0\le k\le n

, имеются не менее

k

различных корней внутри

(-1,1)

, а при

k<n

концы

\pm1

остаются корнями кратности

n-k

. Уменьшение кратности ровно на

1

доказано в №1240.

Для

k=0

утверждение следует из разложения

U

на множители. Пусть оно верно при

k<n

. Возьмём

k

внутренних корней и добавим к ним концы

-1,1

. Эти

k+2

различные точки образуют

k+1

промежуток между соседними точками. По теореме Ролля в каждом есть нуль

U^{(k+1)}

. Все полученные нули различны и лежат внутри

(-1,1)

; индукционный переход доказан.

При

k=n

получаем не менее

n

различных внутренних корней многочлена

U^{(n)}

степени

2n-n=n

. Они исчерпывают все его корни. Умножение на ненулевую постоянную

1/(2^nn!)

не меняет корней. Поэтому все корни

P_n

вещественны, различны и находятся в

(-1,1)

Что и требовалось доказать