Демидович — задача 1241

1. 1
   Применим к этому многочлену следствие из теоремы Ролля, доказанное в предыдущих задачах.
2. 2
   Для первой производной $U'(x)$ точки $x = \pm 1$ останутся корнями кратности $n-1$. Кроме того, на интервале $(-1, 1)$ между корнями появится $1$ новый корень.
3. 3
   Для второй производной $U''(x)$ точки $x = \pm 1$ будут корнями кратности $n-2$. Внутри интервала $(-1, 1)$ появится ещё один корень, разделяющий нули первой производной, итого станет $2$ корня.
   
   Продолжая дифференцировать $k$ раз (где $k \le n$), мы получаем, что производная $k$-го порядка $U^{(k)}(x)$ имеет корни $x = \pm 1$ с кратностью $n-k$, а также ровно $k$ корней строго внутри интервала $(-1, 1)$.
   
   В случае $k = n$, производная $n$-го порядка $U^{(n)}(x)$ будет иметь корни $x = \pm 1$ с кратностью $n-n = 0$. Это означает, что точки $\pm 1$ перестают быть корнями. В то же время внутри интервала $(-1, 1)$ образуется ровно $n$ корней.
   
   Поскольку многочлен Лежандра отличается от $U^{(n)}(x)$ лишь числовым множителем:$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} U^{(n)}(x)$$то его корни полностью совпадают с корнями $U^{(n)}(x)$.
   
   Степень многочлена $P_n(x)$ равна $2n - n = n$. Так как мы гарантированно нашли $n$ различных корней внутри интервала $(-1, 1)$, они исчерпывают все возможные корни этого многочлена $n$-й степени.

Что и требовалось доказать