Демидович — задача 1251

1. 1

   Пункт а)

   Пусть $f(t) = \sin t$.
   На любом отрезке с концами $x$ и $y$ существует точка $c$, для которой:$$\sin x - \sin y = \cos(c) \cdot (x - y)$$Возьмём модуль от обеих частей:$$|\sin x - \sin y| = |\cos c| \cdot |x - y|$$Так как для любого действительного $c$ справедливо $|\cos c| \le 1$, получаем:$$|\sin x - \sin y| \le |x - y|$$
2. 2

   Пункт б)

   Пусть $f(t) = t^p$, где $p > 1$.
   Рассмотрим отрезок $[y, x]$, где $0 < y < x$. Производная $f'(t) = pt^{p-1}$.
   По теореме Лагранжа существует $c \in (y, x)$, для которого:$$x^p - y^p = p c^{p-1}(x - y)$$Так как $0 < y < c < x$ и $p - 1 > 0$, функция $t^{p-1}$ является строго возрастающей. Следовательно:$$y^{p-1} < c^{p-1} < x^{p-1}$$Умножим это двойное неравенство на положительную величину $p(x - y)$:$$p y^{p-1}(x - y) < p c^{p-1}(x - y) < p x^{p-1}(x - y)$$Заменяя среднюю часть на $x^p - y^p$, получаем строгое неравенство:$$p y^{p-1}(x - y) < x^p - y^p < p x^{p-1}(x - y)$$Следовательно, выполняется и нестрогое неравенство, заявленное в условии.
3. 3

   Пункт в)

   Пусть $f(t) = \operatorname{arctg} t$.
   Для отрезка с концами $a$ и $b$ существует точка $c$, такая что:$$\operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} b = \frac{1}{1+c^2}(a - b)$$Берём модуль:$$|\operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} b| = \left| \frac{1}{1+c^2} \right| \cdot |a - b|$$Поскольку $c^2 \ge 0$, имеем $1+c^2 \ge 1$, откуда $\frac{1}{1+c^2} \le 1$. Следовательно:$$|\operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} b| \le |a - b|$$
4. 4

   Пункт г)

   Пусть $f(t) = \ln t$.
   Рассмотрим отрезок $[b, a]$, где $0 < b < a$. Производная $f'(t) = \frac{1}{t}$.
   По теореме Лагранжа существует точка $c \in (b, a)$, для которой:$$\ln a - \ln b = \frac{1}{c}(a - b)$$Левая часть равна $\ln\frac{a}{b}$. Из условия $0 < b < c < a$ вытекает, что:$$\frac{1}{a} < \frac{1}{c} < \frac{1}{b}$$Умножив это неравенство на положительную разность $(a - b)$, получаем:$$\frac{a - b}{a} < \frac{a - b}{c} < \frac{a - b}{b}$$Заменив центральную часть на $\ln\frac{a}{b}$, получаем требуемое двойное неравенство:$$\frac{a - b}{a} < \ln\frac{a}{b} < \frac{a - b}{b}$$

Что и требовалось доказать