Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1251

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1251

Доказать неравенства:а) ∣sin⁡x−sin⁡y∣≤∣x−y∣\text{а) }|\sin x-\sin y|\le|x-y|б) pyp−1(x−y)≤xp−yp≤pxp−1(x−y)если 0<y<x и p>1\text{б) }py^{p-1}(x-y)\le x^p-y^p\le px^{p-1}(x-y)
\quad\text{если }0<y<x\text{ и }p>1в) ∣arctg⁡a−arctg⁡b∣≤∣a−b∣\text{в) }|\operatorname{arctg} a-\operatorname{arctg} b|\le|a-b|г) a−ba<ln⁡ab<a−bbесли 0<b<a\text{г) }\frac{a-b}{a}<\ln\frac ab<\frac{a-b}{b}
\quad\text{если }0<b<a

Доказательство

Все приведённые неравенства доказываются с помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях.
Согласно теореме, если функция f(t)f(t) непрерывна на отрезке [A,B][A, B] и дифференцируема в интервале (A,B)(A, B), то существует точка c∈(A,B)c \in (A, B), такая что:f(B)−f(A)=f′(c)(B−A)f(B) - f(A) = f'(c)(B - A)

Пункт а)

Пусть f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t.
На любом отрезке с концами xx и yy существует точка cc, для которой:sin⁡x−sin⁡y=cos⁡(c)⋅(x−y)\sin x - \sin y = \cos(c) \cdot (x - y)Возьмём модуль от обеих частей:∣sin⁡x−sin⁡y∣=∣cos⁡c∣⋅∣x−y∣|\sin x - \sin y| = |\cos c| \cdot |x - y|Так как для любого действительного cc справедливо ∣cos⁡c∣≤1|\cos c| \le 1, получаем:∣sin⁡x−sin⁡y∣≤∣x−y∣|\sin x - \sin y| \le |x - y|

Пункт б)

Пусть f(t)=tpf(t) = t^p, где p>1p > 1.
Рассмотрим отрезок [y,x][y, x], где 0<y<x0 < y < x. Производная f′(t)=ptp−1f'(t) = pt^{p-1}.
По теореме Лагранжа существует c∈(y,x)c \in (y, x), для которого:xp−yp=pcp−1(x−y)x^p - y^p = p c^{p-1}(x - y)Так как 0<y<c<x0 < y < c < x и p−1>0p - 1 > 0, функция tp−1t^{p-1} является строго возрастающей. Следовательно:yp−1<cp−1<xp−1y^{p-1} < c^{p-1} < x^{p-1}Умножим это двойное неравенство на положительную величину p(x−y)p(x - y):pyp−1(x−y)<pcp−1(x−y)<pxp−1(x−y)p y^{p-1}(x - y) < p c^{p-1}(x - y) < p x^{p-1}(x - y)Заменяя среднюю часть на xp−ypx^p - y^p, получаем строгое неравенство:pyp−1(x−y)<xp−yp<pxp−1(x−y)p y^{p-1}(x - y) < x^p - y^p < p x^{p-1}(x - y)Следовательно, выполняется и нестрогое неравенство, заявленное в условии.

Пункт в)

Пусть f(t)=arctg⁡tf(t) = \operatorname{arctg} t.
Для отрезка с концами aa и bb существует точка cc, такая что:arctg⁡a−arctg⁡b=11+c2(a−b)\operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} b = \frac{1}{1+c^2}(a - b)Берём модуль:∣arctg⁡a−arctg⁡b∣=∣11+c2∣⋅∣a−b∣|\operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} b| = \left| \frac{1}{1+c^2} \right| \cdot |a - b|Поскольку c2≥0c^2 \ge 0, имеем 1+c2≥11+c^2 \ge 1, откуда 11+c2≤1\frac{1}{1+c^2} \le 1. Следовательно:∣arctg⁡a−arctg⁡b∣≤∣a−b∣|\operatorname{arctg} a - \operatorname{arctg} b| \le |a - b|

Пункт г)

Пусть f(t)=ln⁡tf(t) = \ln t.
Рассмотрим отрезок [b,a][b, a], где 0<b<a0 < b < a. Производная f′(t)=1tf'(t) = \frac{1}{t}.
По теореме Лагранжа существует точка c∈(b,a)c \in (b, a), для которой:ln⁡a−ln⁡b=1c(a−b)\ln a - \ln b = \frac{1}{c}(a - b)Левая часть равна ln⁡ab\ln\frac{a}{b}. Из условия 0<b<c<a0 < b < c < a вытекает, что:1a<1c<1b\frac{1}{a} < \frac{1}{c} < \frac{1}{b}Умножив это неравенство на положительную разность (a−b)(a - b), получаем:a−ba<a−bc<a−bb\frac{a - b}{a} < \frac{a - b}{c} < \frac{a - b}{b}Заменив центральную часть на ln⁡ab\ln\frac{a}{b}, получаем требуемое двойное неравенство:a−ba<ln⁡ab<a−bb\frac{a - b}{a} < \ln\frac{a}{b} < \frac{a - b}{b}

Проверка

При совпадающих аргументах в пунктах а) и в) обе части равны нулю. Для различных аргументов применима теорема Лагранжа, поскольку синус и арктангенс непрерывны и дифференцируемы на всей прямой. В пунктах б) и г) отрезки целиком лежат в области t>0t>0, где степенная функция и логарифм имеют нужные свойства.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1251 — решение | Высшая математика — Профиматика