Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1242

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1242

Доказать, что у многочлена Чебышева–ЛагерраLn(x)=exdndxn(xne−x)L_n(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})все корни положительные.

Доказательство

Идея

Рассмотрим вспомогательную функциюU(x)=xne−xU(x) = x^n e^{-x}Функция U(x)U(x) и все её производные непрерывны на всей числовой прямой. Точка x=0x = 0 является корнем функции U(x)U(x) кратности nn. Кроме того, при x→+∞x \to +\infty функция U(x)U(x) стремится к нулю:lim⁡x→+∞xne−x=0\lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0
Применим теорему Ролля. Первая производная U′(x)U'(x) имеет корень x=0x=0 кратности n−1n-1. Так как U(0)=0U(0) = 0 и U(+∞)=0U(+\infty) = 0, то по теореме Ролля (обобщённой для бесконечного полуинтервала) внутри интервала (0,+∞)(0, +\infty) существует хотя бы одна точка x1x_1, в которой U′(x1)=0U'(x_1) = 0

Вторая производная U′′(x)U''(x) будет иметь корень x=0x=0 кратности n−2n-2. Поскольку U′(0)=0U'(0) = 0, U′(x1)=0U'(x_1) = 0 и U′(+∞)=0U'(+\infty) = 0, то производная U′′(x)U''(x) имеет по крайней мере один корень в интервале (0,x1)(0, x_1) и один корень в интервале (x1,+∞)(x_1, +\infty). То есть, U′′(x)U''(x) имеет не менее двух строго положительных корней.

Продолжая рассуждения по индукции, получаем, что для любого k≤nk \le n производная kk-го порядка U(k)(x)U^{(k)}(x) имеет корень x=0x=0 кратности n−kn-k и не менее kk различных строго положительных корней.

При k=nk = n производная nn-го порядка U(n)(x)U^{(n)}(x) больше не имеет корня в нуле (кратность n−n=0n-n=0), но имеет ровно nn различных положительных корней.

Заметим, что U(n)(x)U^{(n)}(x) имеет вид Qn(x)e−xQ_n(x)e^{-x}, где Qn(x)Q_n(x) — некоторый многочлен степени nn. Значит, уравнение U(n)(x)=0U^{(n)}(x) = 0 не может иметь более nn корней. Следовательно, все nn корней функции U(n)(x)U^{(n)}(x) являются положительными.

Проверка

Поскольку многочлен Лагерра отличается от U(n)(x)U^{(n)}(x) лишь множителем exe^x, который нигде не обращается в нуль:Ln(x)=exU(n)(x)L_n(x) = e^x U^{(n)}(x)корни многочлена Ln(x)L_n(x) совпадают с корнями U(n)(x)U^{(n)}(x). Таким образом, все nn корней многочлена Чебышева–Лагерра вещественны, различны и строго положительны.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1242 — решение