Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1242

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что у многочлена Чебышева–Лагерра

L_n(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})

все корни положительные.

Доказательство

При

n=0

имеем

L_0=1

. Пусть

n\ge1

U=x^ne^{-x}

. По формуле Лейбница каждая производная имеет вид

U^{(k)}=Q_k(x)e^{-x}

, где

Q_k

— многочлен степени

n

: из

Q_0=x^n,\qquad Q_{k+1}=Q_k'-Q_k

следует, что старший коэффициент равен

(-1)^k

. Следовательно, все

U^{(k)}(x)

стремятся к нулю при

x\to+\infty

: экспонента убывает быстрее каждой степени (№564).

Для

k<n

значение

U^{(k)}(0)=0

. Действительно, в каждом члене формулы Лейбница для

k

-й производной остаётся множитель

x^{n-j}

j\le k<n

.

Докажем, что

U^{(k)}

имеет не менее

k

различных положительных нулей при

1\le k\le n

. Для первого шага используем №1237:

U(0)=0

U(x)\to0

при

x\to+\infty

, поэтому

U'

имеет нуль в

(0,+\infty)

.

Пусть при

k<n

выбраны

k

положительных нулей

z_1<\cdots<z_k

. У

U^{(k)}

есть также нуль

0

. Теорема Ролля на

(0,z_1),(z_1,z_2),\ldots,(z_{k-1},z_k)

даёт

k

нулей следующей производной, а результат №1237 на

(z_k,+\infty)

— ещё один. Итак, получено

k+1

различных положительных нулей.

При

k=n

их не менее

n

. Но

U^{(n)}=Q_ne^{-x}

, а

Q_n

имеет степень

n

, поэтому других корней быть не может. Поскольку

L_n=e^xU^{(n)}=Q_n

, все его корни положительны и различны.

Что и требовалось доказать