Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1244

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1244

Найти на кривой y=x3y=x^3 точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки A(−1,−1)A(-1,-1) и B(2,8)B(2,8).

Решение

Идея

Угловой коэффициент хорды, проходящей через точки A(x1,y1)A(x_1, y_1) и B(x2,y2)B(x_2, y_2), вычисляется по формулеk=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}Подставим координаты заданных точек A(−1,−1)A(-1, -1) и B(2,8)B(2, 8):k=8−(−1)2−(−1)=93=3k = \frac{8 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{9}{3} = 3
Производная функции y=x3y = x^3 задаёт угловой коэффициент касательной к кривой в произвольной точке xx:y′=(x3)′=3x2y' = (x^3)' = 3x^2По условию касательная должна быть параллельна хорде, что означает равенство их угловых коэффициентов. Приравняем производную к угловому коэффициенту хорды:3x2=33x^2 = 3Отсюда находим абсциссы искомых точек:x2=1  ⟹  x1=1,x2=−1x^2 = 1 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -1Определим ординаты точек касания, подставив найденные абсциссы в уравнение кривой.
При x1=1x_1 = 1 ордината равнаy1=13=1y_1 = 1^3 = 1При x2=−1x_2 = -1 ордината равнаy2=(−1)3=−1y_2 = (-1)^3 = -1

Проверка

Таким образом, на кривой имеются две точки, касательные в которых параллельны указанной хорде: M1(1,1)M_1(1, 1) и M2(−1,−1)M_2(-1, -1).
Демидович № 1244 — решение