Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1244

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1244

Найти на кривой

y=x^3

точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки

A(-1,-1)

B(2,8)

Решение

Угловой коэффициент хорды, проходящей через точки

A(x_1, y_1)

B(x_2, y_2)

, вычисляется по формуле

k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Подставим координаты заданных точек

A(-1, -1)

B(2, 8)

k = \frac{8 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{9}{3} = 3

Производная функции

y = x^3

задаёт угловой коэффициент касательной к кривой в произвольной точке

x

y' = (x^3)' = 3x^2

По условию касательная должна быть параллельна хорде, что означает равенство их угловых коэффициентов. Приравняем производную к угловому коэффициенту хорды:

3x^2 = 3

Отсюда находим абсциссы искомых точек:

x^2 = 1 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -1

Определим ординаты точек касания, подставив найденные абсциссы в уравнение кривой.
При

x_1 = 1

ордината равна

y_1 = 1^3 = 1

При

x_2 = -1

ордината равна

y_2 = (-1)^3 = -1

Проверка

Таким образом, на кривой имеются две точки, касательные в которых параллельны указанной хорде:

M_1(1, 1)

M_2(-1, -1)