Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1235

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Проверить справедливость теоремы Ролля для функции

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

Решение

Идея

Теорема Ролля утверждает, что если функция

f(x)

непрерывна на отрезке

[a, b]

, дифференцируема на интервале

(a, b)

и на концах отрезка принимает равные значения

f(a) = f(b)

, то внутри интервала

(a, b)

найдётся хотя бы одна точка

c

, в которой

f'(c) = 0

1
Рассмотрим заданную функцию $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ . Раскроем скобки: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ Поскольку $f(x)$ является многочленом, она непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ .
2
Найдём корни функции: $f(x) = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 3$ Таким образом, функция обращается в нуль на концах отрезков $[1, 2]$ и $[2, 3]$ . Следовательно, условия теоремы Ролля выполнены как для отрезка $[1, 2]$ , так и для отрезка $[2, 3]$ (а также для отрезка $[1, 3]$ ). По теореме Ролля, в интервалах $(1, 2)$ и $(2, 3)$ должны существовать точки, в которых производная равна нулю.

Проверка

Проверим это, найдя производную функции:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 11

Приравняем производную к нулю:

3x^2 - 12x + 11 = 0

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен

D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 144 - 132 = 12

. Корни уравнения:

c_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

Оценим полученные значения, учитывая, что

\sqrt{3} \approx 1.73

c_1 = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 2 - 0.577 = 1.423

c_2 = 2 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 2 + 0.577 = 2.577

Как видим, точка

c_1

принадлежит интервалу

(1, 2)

, а точка

c_2

принадлежит интервалу

(2, 3)

. Таким образом, для заданных отрезков существуют точки, предсказанные теоремой, и справедливость теоремы Ролля для данной функции успешно проверена.