Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1235

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Проверить справедливость теоремы Ролля для функции

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

Решение

Теорема Ролля утверждает, что если функция

f(x)

непрерывна на отрезке

[a, b]

, дифференцируема на интервале

(a, b)

и на концах отрезка принимает равные значения

f(a) = f(b)

, то внутри интервала

(a, b)

найдётся хотя бы одна точка

c

, в которой

f'(c) = 0

Рассмотрим заданную функцию

f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)

. Раскроем скобки:

f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Поскольку

f(x)

является многочленом, она непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой

\mathbb{R}

Найдём корни функции:

f(x) = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 3

Таким образом, функция обращается в нуль на концах отрезков

[1, 2]

[2, 3]

. Следовательно, условия теоремы Ролля выполнены как для отрезка

[1, 2]

, так и для отрезка

[2, 3]

(а также для отрезка

[1, 3]

). По теореме Ролля, в интервалах

(1, 2)

(2, 3)

должны существовать точки, в которых производная равна нулю.

Проверка

Проверим это, найдя производную функции:

f'(x) = 3x^2 - 12x + 11

Приравняем производную к нулю:

3x^2 - 12x + 11 = 0

Решим квадратное уравнение. Дискриминант равен

D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 144 - 132 = 12

. Корни уравнения:

c_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}

Поскольку

0<\sqrt3/3<1

(это следует из

0<3<9

), имеем

1<c_1<2

2<c_2<3

. Итак, на каждом из двух интервалов найдена точка, предсказанная теоремой Ролля.