Демидович — задача 1238

1. 1
   По условию функция $f(x)$ принимает равные значения в $n+1$ точках:$$f(x_0) = f(x_1) = \dots = f(x_n)$$Разобьем отрезок $[x_0, x_n]$ на $n$ подотрезков: $[x_0, x_1], [x_1, x_2], \dots, [x_{n-1}, x_n]$. На каждом из этих отрезков функция непрерывна и внутри каждого из них дифференцируема (так как задано существование непрерывной производной высшего порядка). По теореме Ролля, внутри каждого из $n$ отрезков найдется хотя бы одна точка, в которой первая производная равна нулю.
2. 2
   Обозначим эти точки как $x_1^{(1)}, x_2^{(1)}, \dots, x_n^{(1)}$. Мы получили $n$ корней первой производной $f'(x)$, упорядоченных следующим образом:$$x_0 < x_1^{(1)} < x_1 < x_2^{(1)} < \dots < x_{n-1} < x_n^{(1)} < x_n$$Теперь рассмотрим функцию $f'(x)$. Она непрерывна на отрезке $[x_1^{(1)}, x_n^{(1)}]$ и дифференцируема внутри него. Применим теорему Ролля к $f'(x)$ на $n-1$ отрезках $[x_1^{(1)}, x_2^{(1)}], \dots, [x_{n-1}^{(1)}, x_n^{(1)}]$. Получим, что вторая производная $f''(x)$ имеет по крайней мере $n-1$ различных корней в интервале $(x_0, x_n)$.
   
   Продолжая этот процесс индуктивно, мы видим, что при каждом переходе к следующей производной количество гарантированных корней уменьшается на единицу. На $k$-м шаге функция $f^{(k)}(x)$ будет иметь не менее $n-k$ корней.

Что и требовалось доказать