Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1262

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1262

Доказать, что единственная функция

y=y(x)\qquad(-\infty<x<+\infty)

удовлетворяющая уравнению

y'=\lambda y\qquad(\lambda=\mathrm{const})

есть показательная функция

y=Ce^{\lambda x}

где

C

— произвольная постоянная.

Указание. Рассмотреть

(ye^{-\lambda x})'

Опирается на

Доказательство

Воспользуемся указанием и рассмотрим вспомогательную функцию

u(x) = y(x)e^{-\lambda x}

Поскольку функция

y(x)

дифференцируема, функция

u(x)

также дифференцируема на всей числовой прямой. Найдём её производную, используя правило дифференцирования произведения:

u'(x) = (y(x)e^{-\lambda x})' = y'(x)e^{-\lambda x} + y(x)(-\lambda e^{-\lambda x})

Вынесем общий множитель

e^{-\lambda x}

за скобки:

u'(x) = (y'(x) - \lambda y(x))e^{-\lambda x}

По условию задачи функция

y(x)

удовлетворяет дифференциальному уравнению

y' = \lambda y

, откуда

y' - \lambda y = 0

. Подставим это в выражение для производной:

u'(x) = 0 \cdot e^{-\lambda x} = 0

Мы получили, что

u'(x) = 0

для всех

x \in (-\infty, +\infty)

. Как было доказано в задаче , функция, производная которой тождественно равна нулю на интервале, является константой на этом интервале. Следовательно:

u(x) = C

где

C

— некоторая постоянная.
Возвращаясь к исходной функции

y(x)

, получаем:

y(x)e^{-\lambda x} = C

Умножив обе части равенства на

e^{\lambda x}

, приходим к искомому результату:

y(x) = C e^{\lambda x}

Что и требовалось доказать.

Проверка

Обратно,

(Ce^{\lambda x})'=C\lambda e^{\lambda x}=\lambda y

для любого

C

, включая

C=0

. Поэтому найдены все решения.

Что и требовалось доказать