Демидович — задача 1265

1. 1
   Применим теорему Лагранжа к функции $f$ сначала на $[a,x_0]$, а затем
   на $[x_0,b]$. Найдутся точки$$c_1\in(a,x_0)$$
   \qquad
   c_2\in(x_0,b)такие, что$$\begin{aligned}$$
   f'(c_1)
   =\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}
   =m+\frac{g(x_0)}{x_0-a}\\[1mm]
   f'(c_2)
   =\frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}
   =m-\frac{g(x_0)}{b-x_0}
   \end{aligned}
2. 2
   Теперь выберем одну из этих точек в зависимости от знаков $m$ и
   $g(x_0)$.
3. 3
   Если $m\geqslant0$ и $g(x_0)>0$, то$$f'(c_1)>m\geqslant0$$
   \qquad\Longrightarrow\qquad
   |f'(c_1)|>|m|Если $m\geqslant0$ и $g(x_0)<0$, то$$f'(c_2)>m\geqslant0$$
   \qquad\Longrightarrow\qquad
   |f'(c_2)|>|m|
4. 4
   Если $m<0$ и $g(x_0)>0$, то$$f'(c_2)<m<0$$
   \qquad\Longrightarrow\qquad
   |f'(c_2)|>|m|Наконец, если $m<0$ и $g(x_0)<0$, то$$f'(c_1)<m<0$$
   \qquad\Longrightarrow\qquad
   |f'(c_1)|>|m|Во всех возможных случаях найдена точка $c\in(a,b)$, для которой$$|f'(c)|>|m|$$При этом$$|m|=\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|$$что и требовалось доказать.
5. 5

   Построение графика

   Для наглядности изображён частный пример на отрезке
   $[0,4]$:$$f(x)=x+\frac45\sin\frac{\pi x}{4}$$Хорда $AB$ имеет уравнение $y=x$ и угловой коэффициент $m=1$. В точке
   $c=1$$$\begin{aligned}$$
   f'(1)
   =1+\frac{\pi\sqrt2}{10}
   &>1\\
   =|m|
   \end{aligned}Розовая касательная в отмеченной точке заметно круче серой пунктирной
   хорды.

Что и требовалось доказать