Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1265

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1265

Доказать, что если:

1) функция f(x)f(x) непрерывна на сегменте [a,b][a,b];

2) имеет конечную производную f′(x)f'(x) внутри него;

3) не является линейной,

то в интервале (a,b)(a,b) найдётся по меньшей мере одна точка cc такая,
что∣f′(c)∣>∣f(b)−f(a)b−a∣|f'(c)|>
\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
Доказано:В интервале (a,b)(a,b) существует точка cc такая, что∣f′(c)∣>∣f(b)−f(a)b−a∣|f'(c)|>
\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|

Доказательство

Обозначим угловой коэффициент хорды, соединяющей концы графика, черезm=f(b)−f(a)b−am=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}и рассмотрим линейную функцию этой хордыℓ(x)=f(a)+m(x−a)\ell(x)=f(a)+m(x-a)Положимg(x)=f(x)−ℓ(x)g(x)=f(x)-\ell(x)Тогдаg(a)=0g(b)=0\begin{aligned}
g(a)&=0\\
g(b)&=0
\end{aligned}Поскольку функция ff не является линейной, существует точка
x0∈(a,b)x_0\in(a,b), в которойg(x0)≠0g(x_0)\ne0Действительно, если бы g(x)=0g(x)=0 для всех x∈[a,b]x\in[a,b], тоf(x)=ℓ(x)x∈[a,b]f(x)=\ell(x)
\qquad x\in[a,b]и функция ff была бы линейной, что противоречит условию.
Применим теорему Лагранжа к функции ff сначала на [a,x0][a,x_0], а затем
на [x0,b][x_0,b]. Найдутся точкиc1∈(a,x0)c2∈(x0,b)c_1\in(a,x_0)
\qquad
c_2\in(x_0,b)такие, чтоf′(c1)=f(x0)−f(a)x0−a=m+g(x0)x0−af′(c2)=f(b)−f(x0)b−x0=m−g(x0)b−x0\begin{aligned}
f'(c_1)
=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}
=m+\frac{g(x_0)}{x_0-a}\\[1mm]
f'(c_2)
=\frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}
=m-\frac{g(x_0)}{b-x_0}
\end{aligned}
Теперь выберем одну из этих точек в зависимости от знаков mm и
g(x0)g(x_0).
Если m⩾0m\geqslant0 и g(x0)>0g(x_0)>0, тоf′(c1)>m⩾0⟹∣f′(c1)∣>∣m∣f'(c_1)>m\geqslant0
\qquad\Longrightarrow\qquad
|f'(c_1)|>|m|Если m⩾0m\geqslant0 и g(x0)<0g(x_0)<0, тоf′(c2)>m⩾0⟹∣f′(c2)∣>∣m∣f'(c_2)>m\geqslant0
\qquad\Longrightarrow\qquad
|f'(c_2)|>|m|
Если m<0m<0 и g(x0)>0g(x_0)>0, тоf′(c2)<m<0⟹∣f′(c2)∣>∣m∣f'(c_2)<m<0
\qquad\Longrightarrow\qquad
|f'(c_2)|>|m|Наконец, если m<0m<0 и g(x0)<0g(x_0)<0, тоf′(c1)<m<0⟹∣f′(c1)∣>∣m∣f'(c_1)<m<0
\qquad\Longrightarrow\qquad
|f'(c_1)|>|m|Во всех возможных случаях найдена точка c∈(a,b)c\in(a,b), для которой∣f′(c)∣>∣m∣|f'(c)|>|m|При этом∣m∣=∣f(b)−f(a)b−a∣|m|=\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|что и требовалось доказать.

Построение графика

Для наглядности изображён частный пример на отрезке
[0,4][0,4]:f(x)=x+45sin⁡πx4f(x)=x+\frac45\sin\frac{\pi x}{4}Производная равна f′(x)=1+45π4cos⁡(πx/4)=1+π5cos⁡(πx/4)f'(x)=1+\frac45\frac\pi4\cos(\pi x/4)=1+\frac\pi5\cos(\pi x/4). При x=1x=1 косинус равен 2/2\sqrt2/2, откуда добавка π2/10\pi\sqrt2/10. Хорда ABAB имеет уравнение y=xy=x и угловой коэффициент m=1m=1. В точке
c=1c=1f′(1)=1+π210>1=∣m∣\begin{aligned}
f'(1)
=1+\frac{\pi\sqrt2}{10}
&>1\\
=|m|
\end{aligned}Розовая касательная в отмеченной точке заметно круче серой пунктирной
хорды.график к задаче Демидовича № 1265

Ответ

В интервале (a,b)(a,b) существует точка cc такая, что∣f′(c)∣>∣f(b)−f(a)b−a∣|f'(c)|>
\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|

Что и требовалось доказать

Демидович № 1265 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика