Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1259

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что если

f'(x)=0

при

a<x<b

, то

f(x)=\mathrm{const}\quad\text{при }a<x<b

Доказательство

Идея

Выберем две произвольные точки

x_1

x_2

из интервала

(a,b)

, причём пусть

x_1 < x_2

.
Функция

f(x)

дифференцируема на интервале

(a,b)

, а следовательно, она непрерывна на отрезке

[x_1, x_2]

и дифференцируема в интервале

(x_1, x_2)

.
Применим к отрезку

[x_1, x_2]

теорему Лагранжа о конечных приращениях. Согласно теореме, существует такая точка

c \in (x_1, x_2)

, что:

Проверка

f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)

По условию производная

f'(x)

равна нулю во всех точках интервала

(a,b)

, поэтому

f'(c) = 0

.
Подставляя это значение в формулу Лагранжа, получаем:

f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0

Следовательно,

f(x_1) = f(x_2)

.
Поскольку точки

x_1

x_2

были выбраны произвольно, функция принимает одно и то же значение во всех точках интервала

(a,b)

.
Это и означает, что

f(x) = \mathrm{const}

при

a < x < b

Что и требовалось доказать