Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1254

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1254

Доказать, что если функция

f(x)

дифференцируема, но не ограничена на конечном интервале

(a,b)

, то её производная

f'(x)

также не ограничена на интервале

(a,b)

. Обратная теорема не верна (построить пример).

Доказательство

Доказательство прямого утверждения.
Докажем от противного. Предположим, что функция

f(x)

неограничена на конечном интервале

(a,b)

, но её производная

f'(x)

ограничена на этом же интервале.
Это означает, что существует такое число

M > 0

, что для любого

x \in (a, b)

выполняется:

|f'(x)| \le M

Зафиксируем любую точку

x_0 \in (a, b)

. Возьмём произвольную точку

x \in (a, b)

. По теореме Лагранжа о конечном приращении для отрезка с концами в точках

x

x_0

существует точка

c

между ними, такая что:

f(x) - f(x_0) = f'(c)(x - x_0)

Оценим модуль функции

f(x)

, используя свойство модуля суммы и ограниченность производной:

|f(x)| = |f(x_0) + f'(c)(x - x_0)| \le |f(x_0)| + |f'(c)| \cdot |x - x_0|

Поскольку точки

x

x_0

принадлежат интервалу

(a, b)

, расстояние между ними не превосходит длины интервала:

|x - x_0| < b - a

.
Учитывая, что

|f'(c)| \le M

, получаем:

|f(x)| \le |f(x_0)| + M(b - a)

Правая часть этого неравенства представляет собой фиксированное конечное число, не зависящее от

x

. Значит, функция

f(x)

ограничена на

(a,b)

.
Мы пришли к противоречию с исходным условием о том, что

f(x)

неограничена.
Следовательно, наше предположение неверно, и производная

f'(x)

обязана быть неограниченной.

Проверка

2. Пример, опровергающий обратную теорему.
Обратная теорема звучала бы так: «если производная

f'(x)

неограничена на конечном интервале

(a,b)

, то и сама функция

f(x)

неограничена на этом интервале».
Построим контрпример, показывающий, что функция может оставаться ограниченной при неограниченной производной.
Рассмотрим функцию:

f(x) = \sqrt{x}

на интервале

(0, 1)

.
Если

0<x<1

, то после извлечения квадратного корня сохраняется двойное неравенство

0<f(x)=\sqrt{x}<1.

Следовательно, функция ограничена на этом интервале.
Вычислим её производную:

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

При приближении

x

0

справа положительный знаменатель стремится к нулю, поэтому:

\lim_{x \to +0} f'(x) = +\infty

Таким образом, производная

f'(x)

неограничена на интервале

(0, 1)

, тогда как сама функция ограничена. Это доказывает, что обратная теорема неверна.

Что и требовалось доказать