Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1243

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1243

Доказать, что у многочлена Чебышева–ЭрмитаHn(x)=(−1)nex2dndxn(e−x2)H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})все корни вещественные.

Доказательство

Рассмотрим вспомогательную функциюU(x)=e−x2U(x) = e^{-x^2}Поскольку экспонента положительна, U(x)>0U(x)>0 при всех xx. Кроме того, при x→±∞x\to\pm\infty имеем −x2→−∞-x^2\to-\infty, поэтому U(x)=e−x2→0U(x)=e^{-x^2}\to0:lim⁡x→−∞U(x)=0,lim⁡x→+∞U(x)=0\lim_{x \to -\infty} U(x) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} U(x) = 0Функция U(x)U(x) и все её производные непрерывны на R\mathbb{R}. Применим к ней обобщённую теорему Ролля на бесконечных интервалах.
Первая производная U′(x)=−2xe−x2U'(x) = -2x e^{-x^2}. Из того, что U(−∞)=0U(-\infty)=0 и U(+∞)=0U(+\infty)=0, следует существование хотя бы одного корня x1x_1 производной U′(x)U'(x) (действительно, x1=0x_1 = 0). При этом U′(x)→0U'(x) \to 0 при x→±∞x \to \pm\infty.

Вторая производная U′′(x)U''(x) по теореме Ролля должна иметь по крайней мере по одному корню на интервалах (−∞,x1)(-\infty, x_1) и (x1,+∞)(x_1, +\infty), поскольку U′(−∞)=0U'(-\infty)=0, U′(x1)=0U'(x_1)=0 и U′(+∞)=0U'(+\infty)=0. Следовательно, U′′(x)U''(x) имеет по крайней мере 22 вещественных корня.

Рассуждая по индукции, предположим, что производная (k−1)(k-1)-го порядка U(k−1)(x)U^{(k-1)}(x) имеет k−1k-1 вещественных корней и стремится к нулю при x→±∞x \to \pm\infty. Тогда эти корни разбивают числовую прямую на kk интервалов (включая два бесконечных луча). На концах каждого из этих интервалов U(k−1)(x)U^{(k-1)}(x) обращается в нуль. По теореме Ролля, на каждом из kk интервалов найдётся хотя бы один корень производной U(k)(x)U^{(k)}(x). Значит, U(k)(x)U^{(k)}(x) имеет не менее kk вещественных корней.

Для k=nk=n получаем, что nn-я производная U(n)(x)U^{(n)}(x) имеет по крайней мере nn различных вещественных корней.
Так как U(n)(x)=Pn(x)e−x2U^{(n)}(x) = P_n(x)e^{-x^2}, где Pn(x)P_n(x) — некоторый многочлен степени nn, то уравнение U(n)(x)=0U^{(n)}(x) = 0 имеет не более nn корней. Следовательно, ровно nn вещественных корней исчерпывают все корни этого уравнения.

Проверка

Многочлен Чебышева–Эрмита связан с функцией U(x)U(x) соотношением:Hn(x)=(−1)nex2U(n)(x)H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} U^{(n)}(x)Поскольку множитель (−1)nex2(-1)^n e^{x^2} отличен от нуля на всей числовой прямой, корни многочлена Hn(x)H_n(x) полностью совпадают с корнями U(n)(x)U^{(n)}(x). Следовательно, все корни многочлена Чебышева–Эрмита вещественны и различны. Для полноты: представление U(k)=Qke−x2U^{(k)}=Q_ke^{-x^2} следует из Q0=1Q_0=1, Qk+1=Qk′−2xQkQ_{k+1}=Q_k'-2xQ_k. Поэтому deg⁡Qk=k\deg Q_k=k, старший коэффициент — (−2)k(-2)^k. Каждое такое произведение стремится к нулю на обеих бесконечностях, поскольку ∣x∣je−x2→0|x|^j e^{-x^2}\to0 для каждого jj (положим s=x2s=x^2 в пределе №1225). Это проверяет условие №1237 на всех шагах. При n=0n=0 многочлен равен 11 и корней нет.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1243 — решение | Высшая математика — Профиматика