Демидович — задача 1243

1. 1
   Первая производная $U'(x) = -2x e^{-x^2}$. Из того, что $U(-\infty)=0$ и $U(+\infty)=0$, следует существование хотя бы одного корня $x_1$ производной $U'(x)$ (действительно, $x_1 = 0$). При этом $U'(x) \to 0$ при $x \to \pm\infty$.
   
   Вторая производная $U''(x)$ по теореме Ролля должна иметь по крайней мере по одному корню на интервалах $(-\infty, x_1)$ и $(x_1, +\infty)$, поскольку $U'(-\infty)=0$, $U'(x_1)=0$ и $U'(+\infty)=0$. Следовательно, $U''(x)$ имеет по крайней мере $2$ вещественных корня.
   
   Рассуждая по индукции, предположим, что производная $(k-1)$-го порядка $U^{(k-1)}(x)$ имеет $k-1$ вещественных корней и стремится к нулю при $x \to \pm\infty$. Тогда эти корни разбивают числовую прямую на $k$ интервалов (включая два бесконечных луча). На концах каждого из этих интервалов $U^{(k-1)}(x)$ обращается в нуль. По теореме Ролля, на каждом из $k$ интервалов найдётся хотя бы один корень производной $U^{(k)}(x)$. Значит, $U^{(k)}(x)$ имеет не менее $k$ вещественных корней.
   
   Для $k=n$ получаем, что $n$-я производная $U^{(n)}(x)$ имеет по крайней мере $n$ различных вещественных корней.
2. 2
   Так как $U^{(n)}(x) = P_n(x)e^{-x^2}$, где $P_n(x)$ — некоторый многочлен степени $n$, то уравнение $U^{(n)}(x) = 0$ имеет не более $n$ корней. Следовательно, ровно $n$ вещественных корней исчерпывают все корни этого уравнения.

Что и требовалось доказать