Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши

Демидович — задача 1253

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть функция

f(x)

дифференцируема на сегменте

[x_1,x_2]

, причём

x_1x_2>0

. Доказать, что

\frac1{x_1-x_2}\begin{vmatrix}x_1&x_2\\f(x_1)&f(x_2)\end{vmatrix}=f(\xi)-\xi f'(\xi)

где

x_1<\xi<x_2

Доказательство

Раскроем определитель в левой части доказываемого равенства:

\begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\f(x_1) & f(x_2)\end{vmatrix}= x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)

Тогда левая часть примет вид:

L = \frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_1 - x_2}

Введём в рассмотрение две вспомогательные функции:

u(x) = \frac{f(x)}{x}, \qquad v(x) = \frac{1}{x}

Поскольку по условию

x_1 x_2 > 0

, точки

x_1

x_2

имеют одинаковый знак, а значит, нуль не принадлежит отрезку

[x_1, x_2]

. Следовательно, функции

u(x)

v(x)

непрерывны на

[x_1, x_2]

и дифференцируемы на

(x_1, x_2)

.
Кроме того,

v'(x) = -\frac{1}{x^2} \ne 0

ни в одной точке интервала.
Применим к этим функциям теорему Коши. Существует такая точка

\xi \in (x_1, x_2)

, что:

\frac{u(x_2) - u(x_1)}{v(x_2) - v(x_1)} = \frac{u'(\xi)}{v'(\xi)}

Вычислим левую часть формулы Коши:

u(x_2) - u(x_1) = \frac{f(x_2)}{x_2} - \frac{f(x_1)}{x_1} = \frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_1 x_2}

v(x_2) - v(x_1) = \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}

Поделив эти выражения, получаем в точности левую часть

L

\frac{u(x_2) - u(x_1)}{v(x_2) - v(x_1)} = \frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_1 - x_2}

Теперь найдём отношение производных. Производная функции

u(x)

u'(x) = \left( \frac{f(x)}{x} \right)' = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}

Тогда правая часть формулы Коши в точке

\xi

равна:

\frac{u'(\xi)}{v'(\xi)} = \frac{\frac{\xi f'(\xi) - f(\xi)}{\xi^2}}{-\frac{1}{\xi^2}} = -(\xi f'(\xi) - f(\xi)) = f(\xi) - \xi f'(\xi)

Приравнивая вычисленные левую и правую части, приходим к требуемому тождеству:

\frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_1 - x_2} = f(\xi) - \xi f'(\xi)

Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать