Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1274

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=\cos\frac\pi x

Решение

Идея

Область определения:

x \ne 0

. Найдём производную:

y' = \left(\cos\frac{\pi}{x}\right)' = -\sin\frac{\pi}{x} \cdot \left(-\frac{\pi}{x^2}\right) = \frac{\pi}{x^2}\sin\frac{\pi}{x}

Так как

\frac{\pi}{x^2} > 0

при

x \ne 0

, знак производной совпадает со знаком

\sin\frac{\pi}{x}

1
Функция возрастает при $y' > 0$ , то есть $\sin\frac{\pi}{x} > 0$ , откуда: $2\pi k < \frac{\pi}{x} < \pi + 2\pi k \implies 2k < \frac{1}{x} < 2k + 1 \quad (k \in \mathbb{Z})$ Рассмотрим возможные значения $k$ :
При $k = 0$ получаем $0 < \frac{1}{x} < 1 \implies x > 1$ .
При $k > 0$ получаем интервалы $\frac{1}{2k+1} < x < \frac{1}{2k}$ .
При $k < 0$ неравенство также даёт $\frac{1}{2k+1} < x < \frac{1}{2k}$ .
Включая границы на основе непрерывности, заключаем, что функция возрастает на луче $[1, +\infty)$ и на отрезках $\left[\frac{1}{2k+1}, \frac{1}{2k}\right]$ для $k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ .
2
Функция убывает при $y' < 0$ , то есть $\sin\frac{\pi}{x} < 0$ , откуда: $\pi + 2\pi k < \frac{\pi}{x} < 2\pi + 2\pi k \implies 2k + 1 < \frac{1}{x} < 2k + 2 \quad (k \in \mathbb{Z})$ При $k = -1$ получаем $-1 < \frac{1}{x} < 0 \implies x < -1$ .
При $k \ne -1$ получаем интервалы $\frac{1}{2k+2} < x < \frac{1}{2k+1}$ .
Включая границы, функция убывает на луче $(-\infty, -1]$ и на отрезках $\left[\frac{1}{2k+2}, \frac{1}{2k+1}\right]$ для $k \in \mathbb{Z} \setminus \{-1\}$