Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1293

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1293

Исходя из неравенства∑k=1n(akx+bk)2≥0\sum_{k=1}^{n}(a_kx+b_k)^2\ge0где x,ak,bkx,a_k,b_k (k=1,…,n)(k=1,\ldots,n) вещественны, доказать неравенство Коши(∑k=1nakbk)2≤(∑k=1nak2)(∑k=1nbk2)\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2
\le
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)
\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)

Доказательство

Проверка

Раскроем скобки в исходном неравенстве:∑k=1n(ak2x2+2akbkx+bk2)≥0\sum_{k=1}^{n}(a_k^2 x^2 + 2a_k b_k x + b_k^2) \ge 0Сгруппируем слагаемые по степеням переменной xx:x2∑k=1nak2+2x∑k=1nakbk+∑k=1nbk2≥0x^2 \sum_{k=1}^{n}a_k^2 + 2x \sum_{k=1}^{n}a_k b_k + \sum_{k=1}^{n}b_k^2 \ge 0Для удобства введём обозначения:A=∑k=1nak2,B=∑k=1nakbk,C=∑k=1nbk2A = \sum_{k=1}^{n}a_k^2, \qquad B = \sum_{k=1}^{n}a_k b_k, \qquad C = \sum_{k=1}^{n}b_k^2С учётом этих обозначений мы получаем квадратный трёхчлен относительно xx:Ax2+2Bx+C≥0Ax^2 + 2Bx + C \ge 0Это неравенство должно выполняться для любого вещественного значения xx.
Если A=0A = 0, то в силу того, что aka_k вещественные, все ak=0a_k = 0. Тогда B=0B = 0, и доказываемое неравенство тривиально принимает вид 0≤00 \le 0.
Если же A>0A > 0, то график квадратного трёхчлена представляет собой параболу ветвями вверх. Для того чтобы она целиком лежала не ниже оси абсцисс, дискриминант этого трёхчлена (или его четверть) должен быть неположительным:D4=B2−AC≤0\frac{D}{4} = B^2 - AC \le 0Перенесём ACAC в правую часть:B2≤ACB^2 \le ACВозвращаясь к исходным суммам, получаем в точности требуемое неравенство Коши:(∑k=1nakbk)2≤(∑k=1nak2)(∑k=1nbk2)\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2 \le \left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1293 — решение