Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1278

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить промежутки строгого возрастания и убывания функции:

Задача 1278

f(x)=x\left(\sqrt{\frac32}+\sin\ln x\right), \quad\text{если }x>0, \qquad f(0)=0

Решение

Найдём производную функции при

x > 0

f'(x) = 1 \cdot \left(\sqrt{\frac{3}{2}} + \sin\ln x\right) + x \cdot \left(\cos\ln x \cdot \frac{1}{x}\right) = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sin\ln x + \cos\ln x

Свернём сумму синуса и косинуса, используя метод вспомогательного угла:

\sin\ln x + \cos\ln x = \sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\ln x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\ln x \right) = \sqrt{2}\sin\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right)

Тогда производная примет вид:

f'(x) = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{2}\sin\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right) \right)

Знак производной зависит от выражения в скобках.

Найдём промежутки возрастания, где

f'(x) > 0

\sin\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{2}

Решением этого тригонометрического неравенства является:

-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \ln x + \frac{\pi}{4} < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}

Вычтем

\frac{\pi}{4}

из всех частей:

-\frac{7\pi}{12} + 2\pi k < \ln x < \frac{13\pi}{12} + 2\pi k

Потенцируя, получаем интервалы возрастания:

x \in \left[ e^{-\frac{7\pi}{12} + 2\pi k}, e^{\frac{13\pi}{12} + 2\pi k} \right]

Найдём промежутки убывания, где

f'(x) < 0

\sin\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right) < -\frac{\sqrt{3}}{2}

Это неравенство выполняется при:

\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < \ln x + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}

Вычитаем

\frac{\pi}{4}

\frac{13\pi}{12} + 2\pi k < \ln x < \frac{17\pi}{12} + 2\pi k

Потенцируя, получаем интервалы убывания:

x \in \left[ e^{\frac{13\pi}{12} + 2\pi k}, e^{\frac{17\pi}{12} + 2\pi k} \right]

Заметим, что правая граница

\frac{17\pi}{12} + 2\pi k

совпадает с левой границей следующего интервала возрастания

-\frac{7\pi}{12} + 2\pi(k+1)

, поэтому числовая ось (для

x > 0

) полностью покрывается этими промежутками.

Проверка

Граничные точки промежутков включены по непрерывности. В нуле функция тоже непрерывна, поскольку

|f(x)|\le x(\sqrt{3/2}+1)\to0

. Однако ни один промежуток монотонности положительной длины не начинается в нуле: интервалы возрастания и убывания чередуются при сколь угодно малых положительных

x