Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1278

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1278

f(x)=x\left(\sqrt{\frac32}+\sin\ln x\right), \quad\text{если }x>0, \qquad f(0)=0

Решение

Идея

Найдём производную функции при

x > 0

f'(x) = 1 \cdot \left(\sqrt{\frac{3}{2}} + \sin\ln x\right) + x \cdot \left(\cos\ln x \cdot \frac{1}{x}\right) = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sin\ln x + \cos\ln x

Свернём сумму синуса и косинуса, используя метод вспомогательного угла:

\sin\ln x + \cos\ln x = \sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\ln x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\ln x \right) = \sqrt{2}\sin\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right)

Тогда производная примет вид:

f'(x) = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{2}\sin\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right) \right)

Знак производной зависит от выражения в скобках.

1
Найдём промежутки возрастания, где $f'(x) > 0$ : $\sin\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right) > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Решением этого тригонометрического неравенства является: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \ln x + \frac{\pi}{4} < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$ Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей: $-\frac{7\pi}{12} + 2\pi k < \ln x < \frac{13\pi}{12} + 2\pi k$ Потенцируя, получаем интервалы возрастания: $x \in \left[ e^{-\frac{7\pi}{12} + 2\pi k}, e^{\frac{13\pi}{12} + 2\pi k} \right]$
2
Найдём промежутки убывания, где $f'(x) < 0$ : $\sin\left(\ln x + \frac{\pi}{4}\right) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ Это неравенство выполняется при: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < \ln x + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$ Вычитаем $\frac{\pi}{4}$ : $\frac{13\pi}{12} + 2\pi k < \ln x < \frac{17\pi}{12} + 2\pi k$ Потенцируя, получаем интервалы убывания: $x \in \left[ e^{\frac{13\pi}{12} + 2\pi k}, e^{\frac{17\pi}{12} + 2\pi k} \right]$ Заметим, что правая граница $\frac{17\pi}{12} + 2\pi k$ совпадает с левой границей следующего интервала возрастания $-\frac{7\pi}{12} + 2\pi(k+1)$ , поэтому числовая ось (для $x > 0$ ) полностью покрывается этими промежутками.