Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1290

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1290

Доказать неравенство2πx<sin⁡x<xпри 0<x<π2\frac2\pi x<\sin x<x
\quad\text{при }0<x<\frac\pi2

Опирается на

Доказательство

Неравенство состоит из двух частей. Докажем каждую из них отдельно.
Правая часть: sin⁡x<x\sin x < x.
Рассмотрим функцию f(x)=x−sin⁡xf(x) = x - \sin x.
Её производная равна f′(x)=1−cos⁡xf'(x) = 1 - \cos x.
На интервале (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) косинус принимает значения строго меньше 11, поэтому f′(x)>0f'(x) > 0.
Следовательно, функция f(x)f(x) строго возрастает на данном интервале.
Поскольку f(0)=0f(0) = 0, для всех x>0x > 0 справедливо f(x)>0f(x) > 0, откуда:x−sin⁡x>0  ⟹  sin⁡x<xx - \sin x > 0 \implies \sin x < xЛевая часть: 2πx<sin⁡x\frac{2}{\pi} x < \sin x.
Перепишем неравенство в виде sin⁡xx>2π\frac{\sin x}{x} > \frac{2}{\pi}.
Рассмотрим функцию g(x)=sin⁡xxg(x) = \frac{\sin x}{x} на интервале (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right).
Найдём её производную:g′(x)=xcos⁡x−sin⁡xx2=cos⁡x(x−tg⁡x)x2g'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\cos x(x - \operatorname{tg} x)}{x^2}Как было доказано в задаче (г), на интервале (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right) справедливо неравенство tg⁡x>x\operatorname{tg} x > x.
Поскольку cos⁡x>0\cos x > 0 на этом интервале, числитель xcos⁡x−sin⁡x<0x\cos x - \sin x < 0.
Значит, g′(x)<0g'(x) < 0, и функция g(x)g(x) строго убывает на интервале (0,π2)\left(0, \frac{\pi}{2}\right).
Так как g(x)g(x) строго убывает, её значения на интервале строго больше её предела в правом конце:g(x)>lim⁡t→π2−0g(t)=sin⁡π2π2=1π2=2πg(x) > \lim_{t \to \frac{\pi}{2} - 0} g(t) = \frac{\sin\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}Отсюда получаем:sin⁡xx>2π  ⟹  sin⁡x>2πx\frac{\sin x}{x} > \frac{2}{\pi} \implies \sin x > \frac{2}{\pi}x

Проверка

Оба неравенства доказаны.

Что и требовалось доказать