Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1269

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1269

y=3x−x3y=3x-x^3

Решение

Идея

Вычислим производную:y′=3−3x2=3(1−x)(1+x)y' = 3 - 3x^2 = 3(1 - x)(1 + x)Найдём интервалы знакопостоянства производной:
1) y′>0y' > 0 при x2<1  ⟹  x∈(−1,1)x^2 < 1 \implies x \in (-1, 1)
Здесь функция строго возрастает.

y′<0y' < 0 при x2>1  ⟹  x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)x^2 > 1 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)
На этих интервалах функция строго убывает.

Проверка

Итак, функция возрастает на отрезке [−1,1][-1, 1] и убывает на лучах (−∞,−1](-\infty, -1] и [1,+∞)[1, +\infty)
Демидович № 1269 — решение