Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1270

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить промежутки строгого возрастания и убывания функции:

y=\frac2{1+x^2}

Решение

Найдём производную функции:

y' = \frac{0 \cdot (1+x^2) - 2 \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = -\frac{4x}{(1+x^2)^2}

Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной зависит только от числителя:
1)

y' > 0

при

-4x > 0 \implies x < 0

Функция строго возрастает.

y' < 0

при

-4x < 0 \implies x > 0

Функция строго убывает.

Проверка

Таким образом, функция возрастает на

(-\infty, 0]

и убывает на

[0, +\infty)