Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1270

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1270

y=21+x2y=\frac2{1+x^2}

Решение

Идея

Найдём производную функции:y′=0⋅(1+x2)−2⋅2x(1+x2)2=−4x(1+x2)2y' = \frac{0 \cdot (1+x^2) - 2 \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = -\frac{4x}{(1+x^2)^2}Знаменатель всегда положителен, поэтому знак производной зависит только от числителя:
1) y′>0y' > 0 при −4x>0  ⟹  x<0-4x > 0 \implies x < 0
Функция строго возрастает.

y′<0y' < 0 при −4x<0  ⟹  x>0-4x < 0 \implies x > 0
Функция строго убывает.

Проверка

Таким образом, функция возрастает на (−∞,0](-\infty, 0] и убывает на [0,+∞)[0, +\infty)
Демидович № 1270 — решение | Высшая математика — Профиматика