Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1291

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что при

x>0

имеет место неравенство

\left(1+\frac1x\right)^x<e<\left(1+\frac1x\right)^{x+1}

Доказательство

Идея

Прологарифмируем требуемое двойное неравенство по основанию

e

Проверка

x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) < 1 < (x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)

Рассмотрим функцию

f(t) = \ln t

на отрезке

\left[x, x+1\right]

. Поскольку

x > 0

, функция непрерывна на этом отрезке и дифференцируема внутри него.
Применим теорему Лагранжа о конечных приращениях. Существует точка

c \in (x, x+1)

, для которой:

f(x+1) - f(x) = f'(c)((x+1) - x)

Так как

f'(t) = \frac{1}{t}

, получаем:

\ln(x+1) - \ln x = \frac{1}{c} \cdot 1

\ln\left(\frac{x+1}{x}\right) = \frac{1}{c} \implies \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{c}

Поскольку точка

c

лежит строго между

x

x+1

, справедливо двойное неравенство:

x < c < x+1

Перейдём к обратным величинам (все числа положительны, поэтому знаки неравенств поменяются):

\frac{1}{x+1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{x}

Заменим

\frac{1}{c}

на логарифм:

\frac{1}{x+1} < \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x}

Из левого неравенства:

\frac{1}{x+1} < \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \implies 1 < (x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \implies e < \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}

Из правого неравенства:

\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x} \implies x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) < 1 \implies \left(1+\frac{1}{x}\right)^x < e

Объединяя результаты, получаем:

\left(1+\frac1x\right)^x < e < \left(1+\frac1x\right)^{x+1}

Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать