Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1280

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что функция

\left(1+\frac1x\right)^x

возрастает на интервалах

(-\infty,-1)

(0,+\infty)

Доказательство

Идея

Пусть

y = \left(1+\frac{1}{x}\right)^x

. Логарифмируя функцию, получаем:

\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)

Продифференцируем обе части по

x

\frac{y'}{y} = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) + x \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}

Так как

y > 0

на заданных интервалах, знак производной

y'

полностью совпадает со знаком функции:

g(x) = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) - \frac{1}{x+1}

Исследуем функцию

g(x)

на знак. Для этого найдём её производную:

g'(x) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) - \left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right) = -\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{-x - 1 + x}{x(x+1)^2} = -\frac{1}{x(x+1)^2}

Рассмотрим два интервала:

На интервале

(0, +\infty)

знаменатель

x(x+1)^2 > 0

, поэтому

g'(x) < 0

.
Значит,

g(x)

строго убывает на

(0, +\infty)

. Вычислим предел

g(x)

на правой границе:

\lim_{x\to+\infty} g(x) = \ln 1 - 0 = 0

Поскольку функция строго убывает и стремится к нулю, она всюду на интервале больше своего предела, то есть

g(x) > 0

. Следовательно,

y' > 0

, и исходная функция строго возрастает.

На интервале

(-\infty, -1)

знаменатель

x(x+1)^2 < 0

, поэтому

g'(x) > 0

.
Значит,

g(x)

строго возрастает на

(-\infty, -1)

. Вычислим предел

g(x)

на левой границе:

\lim_{x\to-\infty} g(x) = \ln 1 - 0 = 0

Поскольку функция строго возрастает и приходит из нуля, она на всём интервале строго положительна, то есть

g(x) > 0

. Следовательно,

y' > 0

, и исходная функция строго возрастает.

Проверка

Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать