Демидович — задача 1295

1. 1
2. 2

   База индукции

   Для $n=1$ неравенство тривиально: $x_1 \le x_1$.
   Для $n=2$ нам нужно доказать, что $\sqrt{x_1 x_2} \le \frac{x_1+x_2}{2}$.
   Запишем очевидное неравенство для квадрата разности:$$(\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})^2 \ge 0 \implies x_1 - 2\sqrt{x_1 x_2} + x_2 \ge 0 \implies \sqrt{x_1 x_2} \le \frac{x_1+x_2}{2}$$База доказана.
   
   Прямой шаг индукции.
   Предположим, что неравенство верно для $n=k$. Докажем его справедливость для $n=2k$.
   Пусть даны $2k$ положительных чисел. Разобьём их на $k$ пар и сначала применим к каждой паре неравенство для $n=2$:$$\frac{x_1+\dots+x_{2k}}{2k} = \frac{1}{k}\left(\frac{x_1+x_2}{2} + \dots + \frac{x_{2k-1}+x_{2k}}{2}\right) \ge \frac{1}{k}\left(\sqrt{x_1 x_2} + \dots + \sqrt{x_{2k-1} x_{2k}}\right)$$Теперь мы имеем сумму $k$ положительных чисел (каждое из которых является корнем). Применим к ним предположение индукции для $k$ переменных:$$\frac{1}{k}\left(\sqrt{x_1 x_2} + \dots + \sqrt{x_{2k-1} x_{2k}}\right) \ge \sqrt[k]{\sqrt{x_1 x_2} \cdots \sqrt{x_{2k-1} x_{2k}}} = \sqrt[2k]{x_1 x_2 \cdots x_{2k}}$$Следовательно, из справедливости неравенства для $n=k$ вытекает его справедливость для $n=2k$.
   Стартуя с базы $n=2$, мы получаем, что неравенство верно для всех $n$, являющихся степенями двойки: $n = 2, 4, 8, 16, \dots$
   
   Обратный шаг индукции.
   Предположим, что неравенство доказано для некоторого $n=k$. Докажем, что оно верно и для $n=k-1$.
   Пусть даны $k-1$ положительных чисел: $x_1, \dots, x_{k-1}$. Обозначим их среднее арифметическое через $A$:$$A = \frac{x_1 + \dots + x_{k-1}}{k-1} \implies x_1 + \dots + x_{k-1} = (k-1)A$$Дополним этот набор ещё одним, $k$-м числом, выбрав $x_k = A$.
   Применим предположение индукции для набора из $k$ чисел $x_1, \dots, x_{k-1}, A$:$$\frac{x_1 + \dots + x_{k-1} + A}{k} \ge \sqrt[k]{x_1 \cdots x_{k-1} \cdot A}$$Подставим сумму первых $k-1$ чисел в числитель левой части:$$\frac{(k-1)A + A}{k} \ge \sqrt[k]{x_1 \cdots x_{k-1} \cdot A}$$Левая часть равна в точности $\frac{kA}{k} = A$. Неравенство примет вид:$$A \ge \sqrt[k]{x_1 \cdots x_{k-1} \cdot A}$$Возведём обе части в $k$-ю степень:$$A^k \ge x_1 \cdots x_{k-1} \cdot A$$Поскольку все числа положительные, мы можем сократить обе части на $A > 0$:$$A^{k-1} \ge x_1 \cdots x_{k-1}$$Извлекая корень степени $k-1$ из обеих частей, получаем:$$A \ge \sqrt[k-1]{x_1 \cdots x_{k-1}}$$Подставляя значение $A$, приходим к итоговому неравенству для $k-1$ переменных:$$\frac{x_1 + \dots + x_{k-1}}{k-1} \ge \sqrt[k-1]{x_1 \cdots x_{k-1}}$$

Что и требовалось доказать