Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1282

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что рациональная функция

R(x)=\frac{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n}{b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m}\qquad(a_nb_m\ne0)

отличная от тождественной постоянной, монотонна (в строгом смысле!) в интервалах

(-\infty,-x_0)

(x_0,+\infty)

, где

x_0

— достаточно большое положительное число.

Доказательство

Пусть

R(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}

, где

P_n(x)

Q_m(x)

— многочлены, указанные в условии. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного:

R'(x) = \frac{P'_n(x)Q_m(x) - P_n(x)Q'_m(x)}{Q_m^2(x)}

Обозначим числитель производной через

S(x)

S(x) = P'_n(x)Q_m(x) - P_n(x)Q'_m(x)

Производные, произведения и разности многочленов снова являются многочленами, поэтому

S(x)

--- многочлен.
Если бы

S\equiv0

, то на любом интервале без нулей

Q_m

имели бы

R'=0

, а по №1259 —

R=C

. Тогда многочлен

P_n-CQ_m

обращался бы в нуль на целом интервале и потому был бы тождественно нулевым. Это означало бы

R=C

во всех точках её области определения, вопреки условию. Поэтому многочлен

S(x)

не является нулевым многочленом и имеет некоторую конечную степень

k

, а значит, имеет вид:

S(x) = c_k x^k + c_{k-1} x^{k-1} + \cdots + c_0

где

c_k \ne 0

Любой ненулевой многочлен имеет лишь конечное число действительных корней. Кроме того, знаменатель

Q_m(x)

также имеет конечное число корней.
Выберем такое число

x_0 > 0

, чтобы оно было строго больше модулей всех действительных корней многочлена

S(x)

и всех действительных корней многочлена

Q_m(x)

.
Тогда на интервалах

(-\infty, -x_0)

(x_0, +\infty)

многочлен

S(x)

не имеет ни одного корня и, в силу своей непрерывности, сохраняет строгий постоянный знак.
Многочлен

Q_m(x)

на этих же интервалах не обращается в нуль, а значит, его квадрат

Q_m^2(x)

строго положителен.

Проверка

Таким образом, на каждом из интервалов

(-\infty, -x_0)

(x_0, +\infty)

производная:

R'(x) = \frac{S(x)}{Q_m^2(x)}

не обращается в нуль и сохраняет свой знак (определяемый знаком

S(x)

).
Так как производная сохраняет строгий постоянный знак на указанных лучах, функция

R(x)

является на них строго монотонной.

Что и требовалось доказать