Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1282

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что рациональная функция

R(x)=\frac{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n}{b_0+b_1x+\cdots+b_mx^m}\qquad(a_nb_m\ne0)

отличная от тождественной постоянной, монотонна (в строгом смысле!) в интервалах

(-\infty,-x_0)

(x_0,+\infty)

, где

x_0

— достаточно большое положительное число.

Доказательство

Идея

Пусть

R(x) = \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}

, где

P_n(x)

Q_m(x)

— многочлены, указанные в условии. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного:

R'(x) = \frac{P'_n(x)Q_m(x) - P_n(x)Q'_m(x)}{Q_m^2(x)}

Обозначим числитель производной через

S(x)

S(x) = P'_n(x)Q_m(x) - P_n(x)Q'_m(x)

Ясно, что

S(x)

также является многочленом (целой рациональной функцией).
Поскольку функция

R(x)

по условию не является тождественной постоянной, её производная

R'(x)

не равна тождественно нулю. Следовательно, многочлен

S(x)

не является нулевым многочленом и имеет некоторую конечную степень

k

, а значит, имеет вид:

S(x) = c_k x^k + c_{k-1} x^{k-1} + \cdots + c_0

где

c_k \ne 0

Любой ненулевой многочлен имеет лишь конечное число действительных корней. Кроме того, знаменатель

Q_m(x)

также имеет конечное число корней.
Выберем такое число

x_0 > 0

, чтобы оно было строго больше модулей всех действительных корней многочлена

S(x)

и всех действительных корней многочлена

Q_m(x)

.
Тогда на интервалах

(-\infty, -x_0)

(x_0, +\infty)

многочлен

S(x)

не имеет ни одного корня и, в силу своей непрерывности, сохраняет строгий постоянный знак.
Многочлен

Q_m(x)

на этих же интервалах не обращается в нуль, а значит, его квадрат

Q_m^2(x)

строго положителен.

Проверка

Таким образом, на каждом из интервалов

(-\infty, -x_0)

(x_0, +\infty)

производная:

R'(x) = \frac{S(x)}{Q_m^2(x)}

не обращается в нуль и сохраняет свой знак (определяемый знаком

S(x)

).
Так как производная сохраняет строгий постоянный знак на указанных лучах, функция

R(x)

является на них строго монотонной.

Что и требовалось доказать