Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1288

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1288

Доказать теорему, если: 1) функции φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) nn-кратно дифференцируемы; 2)φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)(k=0,1,…,n−1)\varphi^{(k)}(x_0)=\psi^{(k)}(x_0)
\qquad(k=0,1,\ldots,n-1)3)φ(n)(x)>ψ(n)(x)при x>x0\varphi^{(n)}(x)>\psi^{(n)}(x)\quad\text{при }x>x_0то имеет место неравенствоφ(x)>ψ(x)при x>x0\varphi(x)>\psi(x)\quad\text{при }x>x_0

Доказательство

Рассмотрим разность заданных функций:f(x)=φ(x)−ψ(x)f(x) = \varphi(x) - \psi(x)По условию функции φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) являются nn-кратно дифференцируемыми, следовательно, функция f(x)f(x) также nn-кратно дифференцируема.
Из условия 2) вытекает, что в точке x0x_0 сама функция f(x)f(x) и все её производные до (n−1)(n-1)-го порядка включительно равны нулю:f(x0)=f′(x0)=f′′(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0f(x_0) = f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0Из условия 3) следует, что для всех x>x0x > x_0 выполняется неравенство:f(n)(x)>0f^{(n)}(x) > 0
Из f(n)(x)>0f^{(n)}(x)>0 при x>x0x>x_0 следует, что f(n−1)f^{(n-1)} строго возрастает. Точнее, для любого x>x0x>x_0 теорема Лагранжа даёт c∈(x0,x)c\in(x_0,x) иf(n−1)(x)−f(n−1)(x0)=f(n)(c)(x−x0)>0.f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)=f^{(n)}(c)(x-x_0)>0.Поскольку f(n−1)(x0)=0f^{(n-1)}(x_0)=0, получаем f(n−1)(x)>0f^{(n-1)}(x)>0.

Повторим тот же шаг для каждого следующего порядка вниз. Если уже известно f(k+1)(t)>0f^{(k+1)}(t)>0 для всех t>x0t>x_0, то на [x0,x][x_0,x] по теореме Лагранжаf(k)(x)−f(k)(x0)=f(k+1)(ck)(x−x0)>0.f^{(k)}(x)-f^{(k)}(x_0)=f^{(k+1)}(c_k)(x-x_0)>0.Нулевое начальное значение даёт f(k)(x)>0f^{(k)}(x)>0. Все участвующие функции непрерывны на отрезке и дифференцируемы внутри благодаря исходной nn-кратной дифференцируемости. После nn шагов получаем f(x)>0f(x)>0, то есть φ(x)>ψ(x)\varphi(x)>\psi(x) при x>x0x>x_0.

Что и требовалось доказать