Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1288

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1288

Доказать теорему, если: 1) функции φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) nn-кратно дифференцируемы; 2)φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)(k=0,1,…,n−1)\varphi^{(k)}(x_0)=\psi^{(k)}(x_0)
\qquad(k=0,1,\ldots,n-1)3)φ(n)(x)>ψ(n)(x)при x>x0\varphi^{(n)}(x)>\psi^{(n)}(x)\quad\text{при }x>x_0то имеет место неравенствоφ(x)>ψ(x)при x>x0\varphi(x)>\psi(x)\quad\text{при }x>x_0

Доказательство

Идея

Рассмотрим разность заданных функций:f(x)=φ(x)−ψ(x)f(x) = \varphi(x) - \psi(x)По условию функции φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) являются nn-кратно дифференцируемыми, следовательно, функция f(x)f(x) также nn-кратно дифференцируема.
Из условия 2) вытекает, что в точке x0x_0 сама функция f(x)f(x) и все её производные до (n−1)(n-1)-го порядка включительно равны нулю:f(x0)=f′(x0)=f′′(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0f(x_0) = f'(x_0) = f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0Из условия 3) следует, что для всех x>x0x > x_0 выполняется неравенство:f(n)(x)>0f^{(n)}(x) > 0

Проверка

Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f(x)f(x) в окрестности точки x0x_0:f(x)=∑k=0n−1f(k)(x0)k!(x−x0)k+f(n)(c)n!(x−x0)nf(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - x_0)^nгде точка cc лежит между x0x_0 и xx.
Поскольку мы рассматриваем значения x>x0x > x_0, точка cc строго больше x0x_0.
В силу того, что все производные до (n−1)(n-1)-го порядка в точке x0x_0 равны нулю, сумма в формуле Тейлора обращается в нуль, и разложение принимает вид:f(x)=f(n)(c)n!(x−x0)nf(x) = \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - x_0)^nПроанализируем знаки множителей в правой части:
Так как x>x0x > x_0, то (x−x0)n>0(x - x_0)^n > 0.
Так как c>x0c > x_0, то по условию 3) f(n)(c)>0f^{(n)}(c) > 0.
Следовательно, всё произведение строго положительно:f(x)>0при x>x0f(x) > 0 \quad \text{при } x > x_0Возвращаясь к исходным функциям, получаем:φ(x)−ψ(x)>0  ⟹  φ(x)>ψ(x)\varphi(x) - \psi(x) > 0 \implies \varphi(x) > \psi(x)Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1288 — решение