Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1294

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1294

Доказать, что среднее арифметическое положительных чисел не больше среднего квадратичного этих же чисел, т. е.1n∑k=1nxk≤1n∑k=1nxk2\frac1n\sum_{k=1}^{n}x_k
\le
\sqrt{\frac1n\sum_{k=1}^{n}x_k^2}

Доказательство

Воспользуемся неравенством Коши, доказанным в предыдущей задаче:
(∑k=1nakbk)2≤(∑k=1nak2)(∑k=1nbk2)\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2 \le \left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)Положим ak=xka_k = x_k и bk=1b_k = 1 для всех k=1,2,…,nk = 1, 2, \dots, n.
Подставим эти значения в неравенство:(∑k=1nxk⋅1)2≤(∑k=1nxk2)(∑k=1n12)\left(\sum_{k=1}^{n}x_k \cdot 1\right)^2 \le \left(\sum_{k=1}^{n}x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}1^2\right)Так как сумма nn единиц равна nn (∑k=1n12=n\sum_{k=1}^{n} 1^2 = n), неравенство принимает вид:(∑k=1nxk)2≤n∑k=1nxk2\left(\sum_{k=1}^{n}x_k\right)^2 \le n \sum_{k=1}^{n}x_k^2Разделим обе части на n2n^2:1n2(∑k=1nxk)2≤1n∑k=1nxk2\frac{1}{n^2}\left(\sum_{k=1}^{n}x_k\right)^2 \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k^2Внесём множитель 1n2\frac{1}{n^2} под квадрат в левой части:(1n∑k=1nxk)2≤1n∑k=1nxk2\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k\right)^2 \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k^2Поскольку по условию xk>0x_k > 0, их среднее арифметическое также строго положительно. Извлечём квадратный корень из обеих частей неравенства:1n∑k=1nxk≤1n∑k=1nxk2\frac1n\sum_{k=1}^{n}x_k \le \sqrt{\frac1n\sum_{k=1}^{n}x_k^2}Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1294 — решение | Высшая математика — Профиматика