Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1281

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1281

Доказать, что целая рациональная функцияP(x)=a0+a1x+⋯+anxn(n≥1, an≠0)P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n
\qquad(n\ge1,\ a_n\ne0)является монотонной (в строгом смысле!) в интервалах (−∞,−x0)(-\infty,-x_0) и (x0,+∞)(x_0,+\infty), где x0x_0 — достаточно большое положительное число.

Доказательство

Найдём первую производную заданного многочлена:P′(x)=a1+2a2x+⋯+nanxn−1P'(x) = a_1 + 2a_2 x + \cdots + n a_n x^{n-1}Поскольку n≥1n \ge 1 и an≠0a_n \ne 0, производная P′(x)P'(x) также является многочленом степени n−1n-1 с ненулевым старшим коэффициентом. Вынесем старший член за скобки (при x≠0x \ne 0):P′(x)=nanxn−1(1+(n−1)an−1nanx+⋯+a1nanxn−1)P'(x) = n a_n x^{n-1} \left( 1 + \frac{(n-1)a_{n-1}}{n a_n x} + \cdots + \frac{a_1}{n a_n x^{n-1}} \right)Обозначим сумму дробей в скобках через Q(x)Q(x):Q(x)=(n−1)an−1nanx+⋯+a1nanxn−1Q(x) = \frac{(n-1)a_{n-1}}{n a_n x} + \cdots + \frac{a_1}{n a_n x^{n-1}}Каждое слагаемое суммы Q(x)Q(x) имеет вид C/xjC/x^j с j⩾1j\geqslant1 и потому стремится к нулю при ∣x∣→∞|x|\to\infty. Слагаемых конечное число, следовательно,lim⁡∣x∣→∞Q(x)=0.\lim_{|x|\to\infty} Q(x) = 0.По определению предела, для ε=12\varepsilon = \frac{1}{2} существует такое достаточно большое число x0>0x_0 > 0, что для всех ∣x∣>x0|x| > x_0 выполняется неравенство:∣Q(x)∣<12|Q(x)| < \frac{1}{2}Следовательно, на интервалах (−∞,−x0)(-\infty, -x_0) и (x0,+∞)(x_0, +\infty) выражение в скобках 1+Q(x)1 + Q(x) строго положительно (оно больше 12\frac{1}{2}).
Это означает, что при ∣x∣>x0|x| > x_0 знак производной P′(x)P'(x) полностью совпадает со знаком старшего члена nanxn−1n a_n x^{n-1}:sgn⁡P′(x)=sgn⁡(anxn−1)\operatorname{sgn} P'(x) = \operatorname{sgn} (a_n x^{n-1})
Так как функция xn−1x^{n-1} сохраняет постоянный знак на интервале (x0,+∞)(x_0, +\infty) и сохраняет постоянный знак на интервале (−∞,−x0)(-\infty, -x_0), производная P′(x)P'(x) также сохраняет постоянный строгий знак на каждом из этих интервалов по отдельности.
Если P′(x)P'(x) строго одного знака на интервале, то функция P(x)P(x) строго монотонна на этом интервале. Что и требовалось доказать.

Проверка

При n=1n=1 производная равна ненулевой постоянной a1a_1, поэтому функция строго монотонна на всей прямой. В развёрнутом рассуждении для n≥2n\ge2 сумма QQ состоит из убывающих к нулю степеней 1/x1/x; при n=1n=1 она пустая и равна нулю.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1281 — решение | Высшая математика — Профиматика