Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1281

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что целая рациональная функция

P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\qquad(n\ge1,\ a_n\ne0)

является монотонной (в строгом смысле!) в интервалах

(-\infty,-x_0)

(x_0,+\infty)

, где

x_0

— достаточно большое положительное число.

Доказательство

Идея

Найдём первую производную заданного многочлена:

P'(x) = a_1 + 2a_2 x + \cdots + n a_n x^{n-1}

Поскольку

n \ge 1

a_n \ne 0

, производная

P'(x)

также является многочленом степени

n-1

с ненулевым старшим коэффициентом. Вынесем старший член за скобки (при

x \ne 0

P'(x) = n a_n x^{n-1} \left( 1 + \frac{(n-1)a_{n-1}}{n a_n x} + \cdots + \frac{a_1}{n a_n x^{n-1}} \right)

Обозначим сумму дробей в скобках через

Q(x)

Q(x) = \frac{(n-1)a_{n-1}}{n a_n x} + \cdots + \frac{a_1}{n a_n x^{n-1}}

Очевидно, что предел этого выражения при бесконечном удалении

x

равен нулю:

\lim_{|x|\to\infty} Q(x) = 0

По определению предела, для

\varepsilon = \frac{1}{2}

существует такое достаточно большое число

x_0 > 0

, что для всех

|x| > x_0

выполняется неравенство:

|Q(x)| < \frac{1}{2}

Следовательно, на интервалах

(-\infty, -x_0)

(x_0, +\infty)

выражение в скобках

1 + Q(x)

строго положительно (оно больше

\frac{1}{2}

).
Это означает, что при

|x| > x_0

знак производной

P'(x)

полностью совпадает со знаком старшего члена

n a_n x^{n-1}

\operatorname{sgn} P'(x) = \operatorname{sgn} (a_n x^{n-1})

Проверка

Так как функция

x^{n-1}

сохраняет постоянный знак на интервале

(x_0, +\infty)

и сохраняет постоянный знак на интервале

(-\infty, -x_0)

, производная

P'(x)

также сохраняет постоянный строгий знак на каждом из этих интервалов по отдельности.
Если

P'(x)

строго одного знака на интервале, то функция

P(x)

строго монотонна на этом интервале. Что и требовалось доказать.

Что и требовалось доказать