Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1272

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить промежутки строгого возрастания и убывания функции:

y=x+\sin x

Решение

Найдём производную:

y' = 1 + \cos x

Для любого действительного

x

справедливо неравенство

\cos x \ge -1

, поэтому:

y' \ge 0

Производная обращается в нуль только в изолированных точках

x = \pi + 2\pi k

, где

k \in \mathbb{Z}

. Поскольку производная неотрицательна и не равна тождественно нулю ни на каком интервале, функция строго возрастает на всей числовой прямой

(-\infty, +\infty)

Проверка

Неотрицательная производная даёт неубывание. Если бы при

u<v

значения совпали, то для любого

x\in[u,v]

было бы

f(u)\le f(x)\le f(v)=f(u)

. Функция оказалась бы постоянной на всём

[u,v]

, а её производная — нулевой на

(u,v)

. Это невозможно, потому что нули

1+\cos x

изолированы. Значит,

f(u)<f(v)

при любых

u<v