Демидович — задача 1297

1. 1

   Пункт а)

   Перенесём все члены в левую часть и рассмотрим функцию:$$f(x) = x^\alpha - 1 - \alpha(x-1)$$Найдём её производную:$$f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} - \alpha = \alpha(x^{\alpha-1} - 1)$$Поскольку по условию $x > 1$ и $\alpha \ge 2$, то $\alpha - 1 \ge 1 > 0$, откуда $x^{\alpha-1} > 1$.
   Поэтому для всех $x > 1$ производная строго положительна: $f'(x) > 0$.
   Следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на луче $[1, +\infty)$.
   Поскольку $f(1) = 1^\alpha - 1 - \alpha(0) = 0$, для всех $x > 1$ имеем $f(x) > 0$.
   Отсюда $x^\alpha - 1 > \alpha(x-1)$, что и требовалось доказать.
2. 2

   Пункт б)

   Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[n]{x-a} - \sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{a}$ для $x > a$.
   Нам нужно доказать, что $f(x) > 0$. Найдём производную функции:$$f'(x) = \frac{1}{n}(x-a)^{\frac{1}{n}-1} - \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1} = \frac{1}{n} \left( (x-a)^{\frac{1-n}{n}} - x^{\frac{1-n}{n}} \right)$$По условию $n > 1$, поэтому показатель степени отрицателен: $\frac{1-n}{n} < 0$.
   Функция $t^p$ при $p < 0$ является строго убывающей для $t > 0$.
   Поскольку $0 < x-a < x$, справедливо неравенство:$$(x-a)^{\frac{1-n}{n}} > x^{\frac{1-n}{n}}$$Следовательно, производная $f'(x) > 0$ при $x > a$.
   Функция $f(x)$ строго возрастает. Найдём её значение на левом конце области $x = a$:$$f(a) = \sqrt[n]{0} - \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{a} = 0$$Так как функция строго возрастает, при $x > a$ выполняется $f(x) > f(a) = 0$.
   Отсюда получаем $\sqrt[n]{x-a} - \sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{a} > 0$, или $\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{x-a}$.
3. 3

   Пункт в)

   Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - 2\ln x - 1$ для $x > 0$.
   Нам нужно показать, что её минимальное значение неотрицательно. Найдём производную:$$f'(x) = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2x^2 - 2}{x} = \frac{2(x-1)(x+1)}{x}$$Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies x = 1$ (корень $x = -1$ не входит в область определения).
   Определим знаки производной на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$:
   
   При $0 < x < 1$ числитель отрицателен, знаменатель положителен $\implies f'(x) < 0$. Функция строго убывает.
   
   При $x > 1$ числитель положителен, знаменатель положителен $\implies f'(x) > 0$. Функция строго возрастает.

Что и требовалось доказать