Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1292

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1292

У арифметической и геометрической прогрессий число членов и крайние члены соответственно одинаковы; все члены положительны. Доказать, что сумма арифметической прогрессии не меньше суммы геометрической, причём неравенство строгое, если число членов не меньше трёх и крайние члены различны.

Доказательство

Пусть nn — число членов обеих прогрессий (n≥3n \ge 3, так как при n=2n=2 суммы равны).
Обозначим первый член через aa, а последний — через bb (a>0a > 0, b>0b > 0, a≠ba \ne b).
Для определённости будем считать, что a<ba < b.
Члены арифметической прогрессии имеют вид:xk=a+(k−1)d,k=1,2,…,nx_k = a + (k-1)d, \qquad k = 1, 2, \dots, nгде разность d=b−an−1d = \frac{b-a}{n-1}.

Члены геометрической прогрессии имеют вид:yk=aqk−1,k=1,2,…,ny_k = a q^{k-1}, \qquad k = 1, 2, \dots, nгде знаменатель q=(ba)1n−1q = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n-1}}.

Выразим kk-й член каждой прогрессии через aa и bb.
Для арифметической прогрессии:xk=a+k−1n−1(b−a)=a(1−k−1n−1)+bk−1n−1x_k = a + \frac{k-1}{n-1}(b-a) = a\left(1 - \frac{k-1}{n-1}\right) + b\frac{k-1}{n-1}Обозначим αk=1−k−1n−1\alpha_k = 1 - \frac{k-1}{n-1} и βk=k−1n−1\beta_k = \frac{k-1}{n-1}.
Заметим, что αk+βk=1\alpha_k + \beta_k = 1, причём для внутренних членов (1<k<n1 < k < n) обе величины αk\alpha_k и βk\beta_k строго положительны.
Тогда:xk=αka+βkbx_k = \alpha_k a + \beta_k b
Для геометрической прогрессии:yk=a((ba)1n−1)k−1=a(ba)k−1n−1=a⋅a−βkbβk=a1−βkbβk=aαkbβky_k = a \left( \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n-1}} \right)^{k-1} = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k-1}{n-1}} = a \cdot a^{-\beta_k} b^{\beta_k} = a^{1-\beta_k} b^{\beta_k} = a^{\alpha_k} b^{\beta_k}

Проверка

Докажем нужное сравнение членов без дополнительных неравенств. Зафиксируем 0<β<10<\beta<1, положим r=b/a>1r=b/a>1 и рассмотримF(r)=1−β+βr−rβ.F(r)=1-\beta+\beta r-r^\beta.Имеем F(1)=0F(1)=0, а при r>1r>1F′(r)=β(1−rβ−1)>0,F'(r)=\beta(1-r^{\beta-1})>0,так как β>0\beta>0, β−1<0\beta-1<0 и rβ−1<1r^{\beta-1}<1. Значит, F(r)>0F(r)>0. Умножение на aa даёт(1−β)a+βb>a(b/a)β=a1−βbβ.(1-\beta)a+\beta b>a(b/a)^\beta=a^{1-\beta}b^\beta.При β=(k−1)/(n−1)\beta=(k-1)/(n-1) это ровно xk>ykx_k>y_k для каждого внутреннего члена 1<k<n1<k<n. Крайние члены совпадают, поэтому при n≥3n\ge3 и a≠ba\ne b сумма первой прогрессии строго больше. Если a>ba>b, можно записать обе прогрессии в обратном порядке, не меняя суммы, и применить доказанное. При a=ba=b обе прогрессии постоянны и совпадают. При одном или двух членах все члены являются крайними, так что суммы тоже равны.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1292 — решение | Высшая математика — Профиматика