Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1292

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1292

У арифметической и геометрической прогрессий число членов и крайние члены соответственно одинаковы и все члены прогрессий положительны. Доказать, что у арифметической прогрессии сумма членов больше, чем у геометрической.

Доказательство

Идея

Пусть nn — число членов обеих прогрессий (n≥3n \ge 3, так как при n=2n=2 суммы равны).
Обозначим первый член через aa, а последний — через bb (a>0a > 0, b>0b > 0, a≠ba \ne b).
Для определённости будем считать, что a<ba < b.
  1. 1
    Члены арифметической прогрессии имеют вид:xk=a+(k−1)d,k=1,2,…,nx_k = a + (k-1)d, \qquad k = 1, 2, \dots, nгде разность d=b−an−1d = \frac{b-a}{n-1}.

    Члены геометрической прогрессии имеют вид:yk=aqk−1,k=1,2,…,ny_k = a q^{k-1}, \qquad k = 1, 2, \dots, nгде знаменатель q=(ba)1n−1q = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n-1}}.

    Выразим kk-й член каждой прогрессии через aa и bb.
    Для арифметической прогрессии:xk=a+k−1n−1(b−a)=a(1−k−1n−1)+bk−1n−1x_k = a + \frac{k-1}{n-1}(b-a) = a\left(1 - \frac{k-1}{n-1}\right) + b\frac{k-1}{n-1}Обозначим αk=1−k−1n−1\alpha_k = 1 - \frac{k-1}{n-1} и βk=k−1n−1\beta_k = \frac{k-1}{n-1}.
    Заметим, что αk+βk=1\alpha_k + \beta_k = 1, причём для внутренних членов (1<k<n1 < k < n) обе величины αk\alpha_k и βk\beta_k строго положительны.
    Тогда:xk=αka+βkbx_k = \alpha_k a + \beta_k b
  2. 2
    Для геометрической прогрессии:yk=a((ba)1n−1)k−1=a(ba)k−1n−1=a⋅a−βkbβk=a1−βkbβk=aαkbβky_k = a \left( \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{n-1}} \right)^{k-1} = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k-1}{n-1}} = a \cdot a^{-\beta_k} b^{\beta_k} = a^{1-\beta_k} b^{\beta_k} = a^{\alpha_k} b^{\beta_k}

Проверка

Рассмотрим функцию f(t)=ln⁡tf(t) = \ln t. Найдём её вторую производную:f′′(t)=(1t)′=−1t2f''(t) = \left(\frac{1}{t}\right)' = -\frac{1}{t^2}Так как f′′(t)<0f''(t) < 0 для всех t>0t > 0, график функции f(t)=ln⁡tf(t) = \ln t обращён выпуклостью вверх.
Следовательно, хорда, соединяющая две любые точки графика, лежит строго ниже самой кривой. Аналитически это выражается неравенством Йенсена для строго вогнутой функции:ln⁡(αka+βkb)>αkln⁡a+βkln⁡bпри 0<αk<1\ln(\alpha_k a + \beta_k b) > \alpha_k \ln a + \beta_k \ln b \quad \text{при } 0 < \alpha_k < 1Заметим, что правая часть преобразуется следующим образом:αkln⁡a+βkln⁡b=ln⁡(aαkbβk)\alpha_k \ln a + \beta_k \ln b = \ln(a^{\alpha_k} b^{\beta_k})Таким образом:ln⁡(αka+βkb)>ln⁡(aαkbβk)\ln(\alpha_k a + \beta_k b) > \ln(a^{\alpha_k} b^{\beta_k})В силу строгой монотонности логарифма:αka+βkb>aαkbβk\alpha_k a + \beta_k b > a^{\alpha_k} b^{\beta_k}Это означает, что для любого промежуточного члена (где 1<k<n1 < k < n) справедливо строгое неравенство:xk>ykx_k > y_kДля крайних членов (k=1k=1 и k=nk=n) мы имеем x1=y1=ax_1 = y_1 = a и xn=yn=bx_n = y_n = b.
Просуммируем все члены:∑k=1nxk>∑k=1nyk\sum_{k=1}^n x_k > \sum_{k=1}^n y_kСледовательно, сумма членов арифметической прогрессии строго больше суммы членов геометрической прогрессии.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1292 — решение | Высшая математика — Профиматика