Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1271

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1271

y=xx+100,x≥0y=\frac{\sqrt{x}}{x+100},
\qquad x\ge0

Решение

Идея

Область определения функции: x≥0x \ge 0. Найдём производную при x>0x > 0:y′=12x(x+100)−x(x+100)2=x+100−2x2x(x+100)2=100−x2x(x+100)2y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+100) - \sqrt{x}}{(x+100)^2} = \frac{x+100 - 2x}{2\sqrt{x}(x+100)^2} = \frac{100-x}{2\sqrt{x}(x+100)^2}Знаменатель положителен при x>0x > 0. Знак производной определяется исключительно числителем:
1) y′>0y' > 0 при 100−x>0  ⟹  0<x<100100 - x > 0 \implies 0 < x < 100
Функция строго возрастает.
y′<0y' < 0 при 100−x<0  ⟹  x>100100 - x < 0 \implies x > 100
Функция строго убывает.

Проверка

В итоге, функция возрастает на отрезке [0,100][0, 100] и убывает на луче [100,+∞)[100, +\infty)
Демидович № 1271 — решение