Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1276

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1276

y=xne−x,n>0,x≥0y=x^ne^{-x}, \qquad n>0, \quad x\ge0

Решение

Идея

Вычислим производную функции:y′=nxn−1e−x+xne−x⋅(−1)=xn−1e−x(n−x)y' = n x^{n-1} e^{-x} + x^n e^{-x} \cdot (-1) = x^{n-1} e^{-x} (n - x)Поскольку по условию x≥0x \ge 0 и n>0n > 0, множители xn−1x^{n-1} (при x>0x > 0) и e−xe^{-x} строго положительны. Знак производной полностью определяется множителем (n−x)(n - x).
1) Если 0<x<n0 < x < n, то n−x>0n - x > 0, следовательно y′>0y' > 0. Функция строго возрастает.
2) Если x>nx > n, то n−x<0n - x < 0, следовательно y′<0y' < 0. Функция строго убывает.

Проверка

Таким образом, функция возрастает на отрезке [0,n][0, n] и убывает на луче [n,+∞)[n, +\infty)
Демидович № 1276 — решение