Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1276

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить промежутки строгого возрастания и убывания функции:

y=x^ne^{-x}, \qquad n>0, \quad x\ge0

Решение

Вычислим производную функции:

y' = n x^{n-1} e^{-x} + x^n e^{-x} \cdot (-1) = x^{n-1} e^{-x} (n - x)

Поскольку по условию

x \ge 0

n > 0

, множители

x^{n-1}

(при

x > 0

) и

e^{-x}

строго положительны. Знак производной полностью определяется множителем

(n - x)

.
1) Если

0 < x < n

, то

n - x > 0

, следовательно

y' > 0

. Функция строго возрастает.
2) Если

x > n

, то

n - x < 0

, следовательно

y' < 0

. Функция строго убывает.

Таким образом, функция возрастает на отрезке

[0, n]

и убывает на луче

[n, +\infty)