Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1273

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1273

y=x+∣sin⁡2x∣y=x+|\sin 2x|

Решение

Идея

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Модуль раскрывается по-разному в зависимости от знака sin⁡2x\sin 2x.
Рассмотрим два случая для периода от 00 до π\pi:
sin⁡2x≥0\sin 2x \ge 0, что выполняется при 2x∈[0,π]+2πk  ⟹  x∈[πk,π2+πk]2x \in [0, \pi] + 2\pi k \implies x \in \left[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right].
На этих отрезках y=x+sin⁡2xy = x + \sin 2x, а производная равна y′=1+2cos⁡2xy' = 1 + 2\cos 2x.
Функция возрастает (y′≥0y' \ge 0), если cos⁡2x≥−12\cos 2x \ge -\frac{1}{2}, то есть 2x∈[−2π3+2πk,2π3+2πk]2x \in \left[-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right].
Пересекая с рассматриваемым условием, получаем отрезки возрастания: x∈[πk,π3+πk]x \in \left[\pi k, \frac{\pi}{3} + \pi k\right].
Функция убывает (y′≤0y' \le 0), если cos⁡2x≤−12\cos 2x \le -\frac{1}{2}. Пересекая с условием, получаем отрезки убывания: x∈[π3+πk,π2+πk]x \in \left[\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k\right].

sin⁡2x≤0\sin 2x \le 0, что выполняется при 2x∈[π,2π]+2πk  ⟹  x∈[π2+πk,π+πk]2x \in [\pi, 2\pi] + 2\pi k \implies x \in \left[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k\right].
Здесь y=x−sin⁡2xy = x - \sin 2x, а производная равна y′=1−2cos⁡2xy' = 1 - 2\cos 2x.
Функция возрастает (y′≥0y' \ge 0), если cos⁡2x≤12\cos 2x \le \frac{1}{2}, то есть 2x∈[π3+2πk,5π3+2πk]2x \in \left[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right].
Пересекая с рассматриваемым отрезком, находим отрезки возрастания: x∈[π2+πk,5π6+πk]x \in \left[\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k\right].
Функция убывает (y′≤0y' \le 0), если cos⁡2x≥12\cos 2x \ge \frac{1}{2}. Пересекая с условием, получаем отрезки убывания: x∈[5π6+πk,π+πk]x \in \left[\frac{5\pi}{6} + \pi k, \pi + \pi k\right].

Проверка

Объединяя результаты, можно записать промежутки в более компактном виде.
Функция возрастает на отрезках [πk2,πk2+π3]\left[\frac{\pi k}{2}, \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{3}\right] и убывает на отрезках [πk2+π3,πk2+π2]\left[\frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{3}, \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{2}\right], где k∈Zk \in \mathbb{Z}
Демидович № 1273 — решение