Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1277

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1277

y=x2−ln⁡x2y=x^2-\ln x^2

Решение

Идея

Область определения функции: x≠0x \ne 0.
Перепишем функцию в виде y=x2−2ln⁡∣x∣y = x^2 - 2\ln|x| и найдём её производную:y′=2x−2⋅1x=2x2−2x=2(x−1)(x+1)xy' = 2x - 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - 2}{x} = \frac{2(x-1)(x+1)}{x}Найдём критические точки, приравняв числитель к нулю: x=1x = 1 и x=−1x = -1. Точка x=0x = 0 является точкой разрыва.
Определим знаки производной на полученных интервалах:
1) При x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1) числитель положителен, знаменатель отрицателен   ⟹  y′<0\implies y' < 0. Функция строго убывает.
2) При x∈(−1,0)x \in (-1, 0) числитель отрицателен, знаменатель отрицателен   ⟹  y′>0\implies y' > 0. Функция строго возрастает.
3) При x∈(0,1)x \in (0, 1) числитель отрицателен, знаменатель положителен   ⟹  y′<0\implies y' < 0. Функция строго убывает.
4) При x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty) числитель положителен, знаменатель положителен   ⟹  y′>0\implies y' > 0. Функция строго возрастает.
Включая точки экстремума, записываем ответ:
Функция возрастает на полуинтервале [−1,0)[-1, 0) и на луче [1,+∞)[1, +\infty).
Функция убывает на луче (−∞,−1](-\infty, -1] и на полуинтервале (0,1](0, 1]
Демидович № 1277 — решение