Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1283

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1283

Обязательно ли производная монотонной функции является монотонной? Рассмотреть пример:f(x)=x+sin⁡xf(x)=x+\sin x

Решение

Идея

Нет, производная монотонной функции не обязана быть монотонной. Убедимся в этом на предложенном примере.
Найдём производную функции:

Проверка

f′(x)=1+cos⁡xf'(x) = 1 + \cos xПоскольку для любого действительного xx справедливо неравенство cos⁡x≥−1\cos x \ge -1, производная неотрицательна на всей числовой прямой:f′(x)≥0f'(x) \ge 0Так как f′(x)≥0f'(x) \ge 0 и обращается в нуль лишь в изолированных точках x=π+2πkx = \pi + 2\pi k, функция f(x)f(x) строго монотонно возрастает.
Однако её производная f′(x)=1+cos⁡xf'(x) = 1 + \cos x является периодической функцией, которая непрерывно колеблется между значениями 00 и 22. Она периодически возрастает и убывает, а следовательно, монотонной не является.
Демидович № 1283 — решение