Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1279

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1279

Доказать, что при увеличении числа сторон nn периметр pnp_n правильного nn-угольника, вписанного в окружность, возрастает, а периметр PnP_n правильного nn-угольника, описанного около этой окружности, убывает. Пользуясь этим, доказать, что pnp_n и PnP_n имеют общий предел при n→∞n\to\infty.

Доказательство

Пусть RR — радиус окружности. Сторона правильного вписанного nn-угольника равна 2Rsin⁡πn2R\sin\frac{\pi}{n}, а сторона описанного — 2Rtg⁡πn2R\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}.
Тогда периметры можно записать в виде:pn=2nRsin⁡πn=2πRsin⁡πnπnp_n = 2nR\sin\frac{\pi}{n} = 2\pi R \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}Pn=2nRtg⁡πn=2πRtg⁡πnπnP_n = 2nR\operatorname{tg}\frac{\pi}{n} = 2\pi R \frac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}
Введём непрерывную переменную x=πnx = \frac{\pi}{n}. При увеличении числа сторон nn, переменная xx убывает и стремится к нулю.
Рассмотрим функции:f(x)=sin⁡xx,g(x)=tg⁡xxf(x) = \frac{\sin x}{x}, \qquad g(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{x}на интервале (0,π3]\left(0, \frac{\pi}{3}\right].
Найдём производную функции f(x)f(x):f′(x)=xcos⁡x−sin⁡xx2=cos⁡x(x−tg⁡x)x2f'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\cos x (x - \operatorname{tg} x)}{x^2}Так как в первой четверти tg⁡x>x\operatorname{tg} x > x, то x−tg⁡x<0x - \operatorname{tg} x < 0, и поскольку cos⁡x>0\cos x > 0, получаем f′(x)<0f'(x) < 0.
Следовательно, функция f(x)f(x) строго убывает. Поскольку при росте nn аргумент x=πnx = \frac{\pi}{n} убывает, значения функции f(πn)f\left(\frac{\pi}{n}\right) возрастают. Отсюда периметр pnp_n возрастает.
Теперь найдём производную функции g(x)g(x):g′(x)=xcos⁡2x−tg⁡xx2=x−sin⁡xcos⁡xx2cos⁡2x=2x−sin⁡2x2x2cos⁡2xg'(x) = \frac{\frac{x}{\cos^2 x} - \operatorname{tg} x}{x^2} = \frac{x - \sin x \cos x}{x^2 \cos^2 x} = \frac{2x - \sin 2x}{2x^2 \cos^2 x}Поскольку для любого t>0t > 0 справедливо sin⁡t<t\sin t < t, то sin⁡2x<2x\sin 2x < 2x, а значит числитель положителен.
Следовательно, g′(x)>0g'(x) > 0, и функция g(x)g(x) строго возрастает. При убывании аргумента x=πnx = \frac{\pi}{n} значения g(πn)g\left(\frac{\pi}{n}\right) убывают, а значит, периметр PnP_n убывает.

Проверка

Из геометрических неравенств sin⁡t<t<tan⁡t\sin t<t<\tan t при 0<t≤π/30<t\le\pi/3 получаем pn<2πR<Pnp_n<2\pi R<P_n. Поэтому возрастающая последовательность pnp_n ограничена сверху, а убывающая PnP_n — снизу; обе имеют конечные пределы. Их разность равнаPn−pn=pn(1cos⁡(π/n)−1).P_n-p_n=p_n\left(\frac1{\cos(\pi/n)}-1\right).Первый множитель ограничен числом 2πR2\pi R, второй стремится к нулю. Следовательно, Pn−pn→0P_n-p_n\to0, и пределы совпадают. Дополнительно первый замечательный предел даёт их значение:lim⁡pn=2πRlim⁡n→∞sin⁡(π/n)π/n=2πR.\lim p_n=2\pi R\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}=2\pi R.

Что и требовалось доказать

Демидович № 1279 — решение | Высшая математика — Профиматика