Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства

Демидович — задача 1279

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1279

Доказать, что при увеличении числа сторон

n

периметр

p_n

правильного

n

-угольника, вписанного в окружность, возрастает, а периметр

P_n

правильного

n

-угольника, описанного около этой окружности, убывает. Пользуясь этим, доказать, что

p_n

P_n

имеют общий предел при

n\to\infty

Доказательство

Идея

Пусть

R

— радиус окружности. Сторона правильного вписанного

n

-угольника равна

2R\sin\frac{\pi}{n}

, а сторона описанного —

2R\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}

.
Тогда периметры можно записать в виде:

p_n = 2nR\sin\frac{\pi}{n} = 2\pi R \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}

P_n = 2nR\operatorname{tg}\frac{\pi}{n} = 2\pi R \frac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}

1
Введём непрерывную переменную $x = \frac{\pi}{n}$ . При увеличении числа сторон $n$ , переменная $x$ убывает и стремится к нулю.
Рассмотрим функции: $f(x) = \frac{\sin x}{x}, \qquad g(x) = \frac{\operatorname{tg} x}{x}$ на интервале $\left(0, \frac{\pi}{3}\right]$ .
2
Найдём производную функции $f(x)$ : $f'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} = \frac{\cos x (x - \operatorname{tg} x)}{x^2}$ Так как в первой четверти $\operatorname{tg} x > x$ , то $x - \operatorname{tg} x < 0$ , и поскольку $\cos x > 0$ , получаем $f'(x) < 0$ .
Следовательно, функция $f(x)$ строго убывает. Поскольку при росте $n$ аргумент $x = \frac{\pi}{n}$ убывает, значения функции $f\left(\frac{\pi}{n}\right)$ возрастают. Отсюда периметр $p_n$ возрастает.
3
Теперь найдём производную функции $g(x)$ : $g'(x) = \frac{\frac{x}{\cos^2 x} - \operatorname{tg} x}{x^2} = \frac{x - \sin x \cos x}{x^2 \cos^2 x} = \frac{2x - \sin 2x}{2x^2 \cos^2 x}$ Поскольку для любого $t > 0$ справедливо $\sin t < t$ , то $\sin 2x < 2x$ , а значит числитель положителен.
Следовательно, $g'(x) > 0$ , и функция $g(x)$ строго возрастает. При убывании аргумента $x = \frac{\pi}{n}$ значения $g\left(\frac{\pi}{n}\right)$ убывают, а значит, периметр $P_n$ убывает.

Проверка

Вычислим пределы обеих последовательностей при

n \to \infty

(то есть при

x \to +0

), используя первый замечательный предел:

\lim_{n\to\infty} p_n = 2\pi R \lim_{x\to+0} \frac{\sin x}{x} = 2\pi R

\lim_{n\to\infty} P_n = 2\pi R \lim_{x\to+0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = 2\pi R \lim_{x\to+0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}\right) = 2\pi R

Таким образом, обе последовательности имеют общий предел, равный длине окружности.

Что и требовалось доказать